更改

}}

}}

'''神经场 Neural field''''方程是组织层面的模型，描述了粗粒度变量的时空演变，例如神经元群体中的突触或放电率活动。

'''神经场 Neural field'''方程是组织层面的模型，描述了粗粒度变量的时空演变，例如神经元群体中的突触或放电率活动。

I(t)  =  \int_{-\infty}^t  {\rm d}\tau^\prime h(t-t^\prime) P(t^\prime)\label{eqn_1}

I(t)  =  \int_{-\infty}^t  {\rm d}\tau^\prime h(t-t^\prime) P(t^\prime)\label{eqn_1}

</math>  (1)

</math>  (1)

具有化学受体对单个传入脉冲和传入瞬时脉冲序列 P(t) 的突触响应函数 h(t)。 单个突触的实验研究表明某些函数 h(t) 可以很好地近似突触反应行为。 在神经领域，人们考虑一个有效的平均'''突触响应函数 synaptic response function'''，它描述了许多突触对神经群体网络中许多传入脉冲序列的平均响应。 当然，一组突触的平均时间响应可能与单个突触受体的响应函数不同，但形状可能相同。因此，方程(1)也适用于群体树突电流 I(t)，其中涉及有效参数和与突触群体响应函数 h(t)相关的群体放电率 P(t)。

具有化学受体对单个传入脉冲和传入瞬时脉冲序列 P(t) 的突触响应函数 h(t)。 单个突触的实验研究表明某些函数 h(t) 可以很好地近似突触反应行为。 在神经领域，人们考虑一个有效的平均'''突触响应函数 synaptic response function'''，它描述了许多突触对神经群体网络中许多传入脉冲序列的平均响应。 当然，一组突触的平均时间响应可能与单个突触受体的响应函数不同，但形状可能相同。因此，方程(1)也适用于群体树突电流 I(t)，其中涉及有效参数和与突触群体响应函数 h(t)相关的群体放电率 P(t)。

\frac{1}{\alpha} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}  =  -u + \int_{-\infty}^\infty {\rm d} y w(y) f(u(x-y,t - |y|/v)) .

\frac{1}{\alpha} \frac{\partial u(x,t)}{\partial t}  =  -u + \int_{-\infty}^\infty {\rm d} y w(y) f(u(x-y,t - |y|/v)) .

</math>

</math>

[[文件:Neuralfield.jpg|链接=link=Special:FilePath/Neuralfield.jpg|替代=|左|缩略图|图1 神经场示意图。 这样的模型不仅可以包括轴突延迟的影响，还可以包括突触和树突对放电率信号的过滤。]]

 

[[文件:Neuralfield.jpg|左|缩略图|图1 神经场示意图。 这样的模型不仅可以包括轴突延迟的影响，还可以包括突触和树突对放电率信号的过滤。]]

在这里，u(x,t) 被解释为一个神经场，表示在位置 x 和时间 t 的一组神经元的局部活动。右边的第二项代表突触输入，f 被解释为单个神经元的放电率函数。间隔 y 的神经元之间的连接强度表示为 w(y)，函数 w 通常称为'''突触足迹 synaptic footprint'''。该公式假设系统在空间上是均匀的和各向同性的。通常 w 反映全局激发 (w>0)、全局抑制 (w<0)、局部激发 - 侧抑制 (墨西哥帽) 描述，例如视觉皮层的方向调整<ref>D C Somers, S B Nelson and M Sur. An emergent model of orientation selectivity in cat visual cortical simple cells. Journal of Neuroscience 15(8), 5448-5465, 1995</ref><ref name=":7">R Ben-Yishai, L Bar-Or, and H Sompolinsky. Theory of orientation tuning in visual cortex. Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 92:3844–3848, 1995.</ref>，或反映抑制性中间神经元的短程相互作用和兴奋性锥体细胞的长程相互作用的'''局部抑制 -''' '''横向激发 local inhibition - lateral excitation'''（逆墨西哥帽）。周期性 w 也引起了一些关注<ref name=":7" /><ref>C R Laing and W C Troy. PDE methods for nonlocal models. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2:487–516, 2003.</ref>。参数 <math>\alpha</math> 是突触的时间衰减率。空间积分下 u 的延迟参数表示由于信号在距离 y 上传播的有限速度引起的轴突传导延迟<ref name=":2" /><ref>P L Nunez. The brain wave equation: a model for the EEG. Mathematical Biosciences, 21:279–297, 1974.</ref><ref>V K Jirsa and H Haken. A derivation of a macroscopic field theory of the brain from the quasi-microscopic neural dynamics. Physica D, 99:503–526, 1997.</ref>；即 |y|/v 其中 v 是沿轴突纤维的动作电位的速度。最近的扩展涉及轴突传输速度 v 的分布<ref>F.M. Atay and A.Hutt, Neural fields with distributed transmission speeds and long-range feedback delays. SIAM Journal Applied Dynamical Systems 5(4), 670-698, 2006</ref>。

在这里，u(x,t) 被解释为一个神经场，表示在位置 x 和时间 t 的一组神经元的局部活动。右边的第二项代表突触输入，f 被解释为单个神经元的放电率函数。间隔 y 的神经元之间的连接强度表示为 w(y)，函数 w 通常称为'''突触足迹 synaptic footprint'''。该公式假设系统在空间上是均匀的和各向同性的。通常 w 反映全局激发 (w>0)、全局抑制 (w<0)、局部激发 - 侧抑制 (墨西哥帽) 描述，例如视觉皮层的方向调整<ref>D C Somers, S B Nelson and M Sur. An emergent model of orientation selectivity in cat visual cortical simple cells. Journal of Neuroscience 15(8), 5448-5465, 1995</ref><ref name=":7">R Ben-Yishai, L Bar-Or, and H Sompolinsky. Theory of orientation tuning in visual cortex. Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 92:3844–3848, 1995.</ref>，或反映抑制性中间神经元的短程相互作用和兴奋性锥体细胞的长程相互作用的'''局部抑制 -''' '''横向激发 local inhibition - lateral excitation'''（逆墨西哥帽）。周期性 w 也引起了一些关注<ref name=":7" /><ref>C R Laing and W C Troy. PDE methods for nonlocal models. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 2:487–516, 2003.</ref>。参数 <math>\alpha</math> 是突触的时间衰减率。空间积分下 u 的延迟参数表示由于信号在距离 y 上传播的有限速度引起的轴突传导延迟<ref name=":2" /><ref>P L Nunez. The brain wave equation: a model for the EEG. Mathematical Biosciences, 21:279–297, 1974.</ref><ref>V K Jirsa and H Haken. A derivation of a macroscopic field theory of the brain from the quasi-microscopic neural dynamics. Physica D, 99:503–526, 1997.</ref>；即 |y|/v 其中 v 是沿轴突纤维的动作电位的速度。最近的扩展涉及轴突传输速度 v 的分布<ref>F.M. Atay and A.Hutt, Neural fields with distributed transmission speeds and long-range feedback delays. SIAM Journal Applied Dynamical Systems 5(4), 670-698, 2006</ref>。

u(x) = \int_0^\Delta w(x-y) {\rm d y}, \qquad u(0)=h=u(\Delta) ,

u(x) = \int_0^\Delta w(x-y) {\rm d y}, \qquad u(0)=h=u(\Delta) ,

</math>

</math>

c = \frac{v(2h-1)}{2h-1 - 2 h v/\alpha}

c = \frac{v(2h-1)}{2h-1 - 2 h v/\alpha}

</math>

</math>

[[文件:Pinto.jpg|链接=link=Special:FilePath/Pinto.jpg|替代=|左|缩略图|图5 切片实验中传播的电活动波，来自 [http://www.bme.rochester.edu/bmeweb/faculty/pinto.html Pinto Lab] (经过允许)。  左：来自 16 个电极的线性阵列的局部场电位记录。 右：该字段的平滑颜色编码版本。]]

[[文件:Pinto.jpg|链接=link=Special:FilePath/Pinto.jpg|替代=|左|缩略图|图5 切片实验中传播的电活动波，来自 [http://www.bme.rochester.edu/bmeweb/faculty/pinto.html Pinto Lab] (经过允许)。  左：来自 16 个电极的线性阵列的局部场电位记录。 右：该字段的平滑颜色编码版本。]]

现在，Richardson 等人在真实的神经组织（浸泡在 GABA_A 阻滞剂印防己毒素中的大鼠皮质切片）中间确定了波速对阈值 h 的强烈依赖性<ref>K A Richardson, S J Schiff, and B J Gluckman. Control of traveling waves in the mammalian cortex. Physical Review Letters, 94:028103, 2005.</ref>。 这些实验利用了这样一个事实，即皮质神经元具有长的顶端树突，并且很容易被电场极化，并且癫痫样爆发 epileptiform bursts可以由刺激电极引发。跨切片施加的正（负）电场增加（降低）波传播速度，这与假设正（负）电场降低（增加）阈值 h 的神经场理论的理论预测一致。

现在，Richardson 等人在真实的神经组织（浸泡在 GABA_A 阻滞剂印防己毒素中的大鼠皮质切片）中间确定了波速对阈值 h 的强烈依赖性<ref>K A Richardson, S J Schiff, and B J Gluckman. Control of traveling waves in the mammalian cortex. Physical Review Letters, 94:028103, 2005.</ref>。 这些实验利用了这样一个事实，即皮质神经元具有长的顶端树突，并且很容易被电场极化，并且癫痫样爆发 epileptiform bursts可以由刺激电极引发。跨切片施加的正（负）电场增加（降低）波传播速度，这与假设正（负）电场降低（增加）阈值 h 的神经场理论的理论预测一致。

行波的[[分岔结构可以使用所谓的埃文斯函数 Evans function来分析。这最初是由 Evans<ref>J Evans. Nerve axon equations: IV The stable and unstable impulse. Indiana University Mathematics Journal, 24:1169–1190, 1975.</ref> 在关于霍奇金-赫胥黎类型的可兴奋神经轴突方程的稳定性定理的背景下制定的。这个复解析函数的零点决定了算子的法线谱，该算子是通过将系统关于其行波解进行线性化而获得的。神经场模型的扩展是最近才出现的，对于 Heaviside 放电率函数的特殊情况，现在已经研究了几个模型<ref>S Coombes and M R Owen. Bumps, breathers, and waves in a neural network with spike frequency adaptation, Physical Review Letters, 94, 148102, 2005.</ref><ref>S Coombes and M R Owen. Evans functions for integral neural field equations with Heaviside firing rate function. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 34:574–600, 2004.</ref>。

行波的[[分岔结构可以使用所谓的埃文斯函数 Evans function来分析。这最初是由 Evans<ref>J Evans. Nerve axon equations: IV The stable and unstable impulse. Indiana University Mathematics Journal, 24:1169–1190, 1975.</ref> 在关于霍奇金-赫胥黎类型的可兴奋神经轴突方程的稳定性定理的背景下制定的。这个复解析函数的零点决定了算子的法线谱，该算子是通过将系统关于其行波解进行线性化而获得的。神经场模型的扩展是最近才出现的，对于 Heaviside 放电率函数的特殊情况，现在已经研究了几个模型<ref>S Coombes and M R Owen. Bumps, breathers, and waves in a neural network with spike frequency adaptation, Physical Review Letters, 94, 148102, 2005.</ref><ref>S Coombes and M R Owen. Evans functions for integral neural field equations with Heaviside firing rate function. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 34:574–600, 2004.</ref>。