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==雪崩模型==  

==雪崩模型==  

[[Image:分支过程的三个阶段.jpg|thumb|200px|right|图6：分支过程的三个阶段。The three regimes of a branching process. Top, when the branching parameter, <math>\sigma\ ,</math> is less than unity, the system is subcritical and activity dies out over time. Middle, when the branching parameter is equal to unity, the system is critical and activity is approximately sustained. In actuality, activity will die out very slowly with a power law tail. Bottom, when the branching parameter is greater than unity, the system is supercritical and activity increases over time.]]

[[Image:分支过程的三个阶段.jpg|thumb|200px|right|图6：分支过程的三个阶段。分支过程的三种状态。顶部，当分支参数<math>\sigma</math>小于1时，系统是亚临界的，活动随时间消亡。中间，当分支参数等于1的时候，系统是临界的，活动近似持续。实际上，活动将以幂律尾非常缓慢地消亡。底部，当分支参数大于1时，系统是超临界的，活动随时间增加。]]

明确预测神经活动雪崩的模型包括Herz和Hopfield（1995）的工作，该模型将神经网络中的混响与地震大小的幂律分布联系起来。同样值得注意的是Eurich、Hermann和Ernst（2002）的工作，他们预测来自全局耦合的非线性阈值元素网络的雪崩大小分布应该有一个<math>\alpha=1.5</math>的指数。值得注意的是，这个指数与实验报告相吻合（Beggs和Plenz，2003）。

明确预测神经活动雪崩的模型包括Herz和Hopfield（1995）的工作，该模型将神经网络中的混响与地震大小的幂律分布联系起来。同样值得注意的是Eurich、Hermann和Ernst（2002）的工作，他们预测来自全局耦合的非线性阈值元素网络的雪崩大小分布应该有一个<math>\alpha=1.5</math>的指数。值得注意的是，这个指数与实验报告相吻合（Beggs和Plenz，2003）。

这里更详细地描述了一个分支过程模型（Harris, 1989; Beggs and Plenz, 2003; Haldeman and Beggs, 2005; reviewed in Vogels et al, 2005），因为它既能捕捉到雪崩大小的幂律分布，又能观察到数据中可重复的活动序列。在该模型中，在一个时间步长处于活动状态的处理单元将在下一个时间步长中平均产生<math>\sigma</math>处理单元中的活动。<math>\sigma</math>被称为'''分支参数'''，可以被认为是这个比率的预期值。

这里更详细地描述了一个分支过程模型（Harris, 1989; Beggs and Plenz, 2003; Haldeman and Beggs, 2005; reviewed in Vogels et al, 2005），因为它既能捕捉到雪崩大小的幂律分布，又能观察到数据中可重复的活动序列。在该模型中，在一个时间步长处于活动状态的处理单元将在下一个时间步长中平均产生<math>\sigma</math>处理单元中的活动。<math>\sigma</math>被称为'''分支参数'''，可以被认为是这个比率的预期值:

:<math>

:<math>

\sigma=\frac{\mbox{Descendants}}{\mbox{Ancestors}}

\sigma=\frac{\mbox{后代}}{\mbox{祖先}}

</math>

</math>

其中'''Ancestors'''是在时间步长'''t'''时活跃的处理单元的数量，'''Descendants'''是在时间步长'''t+1'''时活跃的处理单元的数量。如图所示，<math>\sigma</math>有三种一般状态。

其中'''祖先'''是在时间步长'''t'''时活跃的处理单元的数量，'''后代'''是在时间步长'''t+1'''时活跃的处理单元的数量。如图所示，<math>\sigma</math>有三种一般状态。

[[Image:分支模型捕获数据的两个主要特征.jpg|thumb|550px|left|图7：分支模型捕获数据的两个主要特征。A branching model captures the two main features of the data. A, Avalanche size distribution from data and model compared, showing fairly close correspondence.  Note that both show a straight line portion in log-log space, extending over avalanche sizes 1-35. Model was tuned to the critical point such that the branching parameter, <math>\sigma\ ,</math> equaled unity. There were no other free parameters. B, Three families of significantly similar avalanches produced by the model. Note similarity to avalanche families produced by actual data shown earlier.]]

[[Image:分支模型捕获数据的两个主要特征.jpg|thumb|550px|left|图7：分支模型捕获数据的两个主要特征。

A，数据和模型的雪崩大小分布比较，显示出相当接近的对应关系。请注意，两者在对数空间都显示出直线部分，延伸到雪崩大小1-35。模型被调整到临界点，使分支参数<math>\sigma</math>等于1,没有其他自由参数。

B, 该模型产生的三个显著相似的雪崩家族。注意与前面显示的实际数据产生的雪崩系列的相似性。]]

At the level of a single processing unit in the network, the branching parameter <math>\sigma</math> is set by the following relationship:  

在网络中的单个处理单元层面，分支参数<math>\sigma</math>由以下关系设定:

:<math>

:<math>

\sigma_i=\sum_{j=1}^\mathit{N}

\sigma_i=\sum_{j=1}^\mathit{N}

\mathit{p_{ij}}

\mathit{p_{ij}}

</math>

</math>

where <math>\sigma_i</math> is the expected number of descendant processing units activated by unit <math>i\ ,</math> <math>N</math> is the number of units that unit <math>i</math> connects to, and <math>p_{ij}</math> is the probability that activity in unit <math>i</math> will transmit to unit <math>j\ .</math> Because some transmission probabilities are greater than others, preferred paths of transmission may occur, leading to reproducible avalanche patterns. Both the power law distribution of avalanche sizes and the repeating avalanches are qualitatively captured by this model when <math>\sigma</math> is tuned to the critical point (<math>\sigma=1</math>), as shown in the figure (Haldeman and Beggs, 2005). When the model is tuned moderately above (<math>\sigma>1</math>) or below (<math>\sigma<1</math>) the critical point, it fails to produce a power law distribution of avalanche sizes. This phenomenological model does not explicitly state the cellular or synaptic mechanisms that may underlie the branching process, and many of this model's predictions need to be tested.

其中<math>\sigma_i</math>是单元<math>i</math>激活的子代处理单元的预期数量，<math>N</math>是单元<math>i</math>连接的单元数量，<math>p_{ij}</math>是单元<math>i</math>的活动将传输到单元<math>j</math>的概率。由于一些传输概率大于其他传输概率，可能会出现优先传输路径，导致可重复的雪崩模式。如图所示，当<math>\sigma</math>被调整到临界点（<math>\sigma=1</math>）时，该模型定性地捕捉到雪崩大小的幂律分布和重复雪崩（Haldeman and Beggs, 2005）。当模型适度调整到临界点以上（<math>\sigma>1</math>）或以下（<math>\sigma<1</math>）时，它不能产生雪崩大小的幂律分布。这一现象学模型没有明确说明分支过程背后的细胞或突触机制，该模型的许多预测仍待测试。

==雪崩的影响==

==雪崩的影响==