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→本征微观态及其演化
= 本征微观态及其演化 =
= 本征微观态及其演化 =
对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。
对于一个由<math>N</math>个主体组成的复杂系统，我们可以从实验测量或计算机模拟中获得主体的状态。依次使用时间<math>t=1, 2, … ,M</math>的状态，我们可以得到主体<math>i=1,2, … , N</math>的状态序列<math>S_i(t)</math>。
一个主体<math>i</math>的平均状态是
<math>\begin{eqnarray}\langle {S}_{i}\rangle =\displaystyle \frac{1}{M}\displaystyle \sum _{t=1}^{M}{S}_{i}(t)\end{eqnarray}</math>。在某个时间<math>t</math>，主体<math>i</math>有一个波动
<math>\begin{eqnarray}\delta {S}_{i}(t)={S}_{i}(t)-\langle {S}_{i}\rangle\end{eqnarray}</math>。这里定义一个具有所有主体的波动的微观态，它由一个<math>N</math>维矢量表示：
<math>\begin{eqnarray}\delta {\boldsymbol{S}}(t)=\left[\begin{array}{c}\delta {S}_{1}(t)\\ \delta {S}_{2}(t)\\ \vdots \\ \delta {S}_{N}(t)\end{array}\right]\end{eqnarray}</math>。
有了<math>M</math>个微观态，我们可以组成一个复杂系统的统计系综。这个系综由一个<math>N×M</math>的矩阵<math>\boldsymbol{A}</math>来描述，其元素为<math>\begin{eqnarray}{A}_{{it}}=\displaystyle \frac{\delta {S}_{i}(t)}{\sqrt{{C}_{0}}}\end{eqnarray}</math>，其中
<math> {C}_{0}={\sum }_{t=1}^{M}{\sum }_{i=1}^{N}\delta {S}_{i}^{2}(t)</math>，<math>\boldsymbol{A}</math>的列序与微观态的演变相一致。
<math>t</math>和<math>t^{\prime}</math>的微观态之间的相关性由它们的矢量乘积定义：<math>\begin{eqnarray}{C}_{{tt}^{\prime} }=\delta {\boldsymbol{S}}{\left(t\right)}^{{\rm{T}}}\cdot \delta {\boldsymbol{S}}(t^{\prime} )=\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\delta {S}_{i}(t)\delta {S}_{i}(t^{\prime} )\end{eqnarray}</math>。以<math>{C}_{tt}^{\prime} </math>作为其元素，我们可以得到一个<math>M×M</math>的微观态相关矩阵：<math>\begin{eqnarray}{\boldsymbol{C}}={C}_{0}{{\boldsymbol{A}}}^{{\rm{T}}}\cdot {\boldsymbol{A}}\end{eqnarray}</math>，其轨迹<math>Tr\boldsymbol{C}={\sum }_{t=1}^{M}{C}_{tt}={C}_{0}</math>。
<math></math>
== 演化的傅里叶谱分析 ==
== 演化的傅里叶谱分析 ==