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第141行： − + − 标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”这些概念的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。+ − 下面我们介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·菲利普·卡达诺夫（Leo Philip Kadanoff）在1966年推导出来的。 <ref>{{cite journal |last1=Kadanoff|first1=Leo P|title=Scaling laws for ising models near <math>T_c</math>|journal= Physics Physique Fizika|date=1 June 1966|volume=2|issue=6|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263}}</ref> − + − 原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到<math>H(T'', J'')</math>，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。+ + + + +
→重整化群
== 重整化群 ==
== 重整化群 ==
在理论物理中，重整化群（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。
在理论物理中，重整化群（renormalization group）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”这些概念的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在[[重整化]]理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。
下面我们通过重整化群的一个简单例子——块自旋重整化群来帮助理解。这是由利奥·菲利普·卡达诺夫（Leo Philip Kadanoff）在1966年推导出来的。 <ref>{{cite journal |last1=Kadanoff|first1=Leo P|title=Scaling laws for ising models near <math>T_c</math>|journal= Physics Physique Fizika|date=1 June 1966|volume=2|issue=6|doi=10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.2.263}}</ref>
[[文件:块自旋示意图.png|缩略图|块自旋示意图]]
[[文件:块自旋示意图.png|缩略图|块自旋示意图]]
首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为<math>T</math>，相互作用的强度使用耦合常数<math>J</math>来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为<math>H(T, J)</math>。
首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为<math>T</math>，相互作用的强度可以使用耦合常数<math>J</math>来描述。这一物理系统可以用这样一个特定的式子：<math>H(T, J)</math>来表达。
现在，我们把这个系统分为有着<math>2\times 2</math>个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数<math>T</math>和<math>J</math>不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。
现在，我们把这个系统分为有着<math>2\times 2</math>个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数<math>T</math>和<math>J</math>不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。
原本这个系统内可能有较多的原子，但现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。如果按照上面的方法再迭代一次，就可以得到<math>H(T'', J'')</math>，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好的结果是能够不断迭代，直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。
威尔逊在卡丹诺夫的基础上进一步发现，系统经过块自旋变换后，可以通过重标变换的方式恢复到和原有模型一致，并指出这样的变换操作可以构成一个半群（粗粒化过程不可逆，所以没有逆元），并将其命名为重整化群。
在临界点处，由于关联长度趋于无穷大，无穷大的量在重整化群变换后仍然是无穷大，这同时也对应着群作用下的不动点。所以威尔逊创造性地将物理上的临界点与群作用下的非平庸不动点结合在一起，提出了一系列基于系统哈密顿量的重整化群理论，来研究系统的临界性质<ref>{{cite journal |last1=Wilson|first1=Kenneth G|last2=Kogut|first2=John|title=The renormalization group and the ϵ expansion|journal= Physics reports|date=August 1974|volume=12|issue=2|doi=10.1016/0370-1573(74)90023-4}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Wilson|first1=Kenneth G|title=Renormalization Group and Critical Phenomena. II. Phase-Space Cell Analysis of Critical Behavior|journal= Physical Review B|date=1 November 1971|volume=4|issue=9|doi=10.1103/PhysRevB.4.3184}}</ref>。
== 本征微观态的重整化群变换 ==
== 本征微观态的重整化群变换 ==