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== 本征微观态的重整化群变换 ==

== 本征微观态的重整化群变换 ==

[[文件:二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ1）体现出的低温不动点(a)和高温不动点(b,c)，以及其满足的标度形式.png|缩略图|二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ₁）体现出的(a)低温不动点和(b,c)高温不动点，以及其满足的标度形式]]

[[文件:二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ1）体现出的低温不动点(a)和高温不动点(b,c)，以及其满足的标度形式.png|缩略图|二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ₁）体现出的(a)低温不动点和(b,c)高温不动点，以及其满足的标度形式]]

对于大量需要研究的复杂系统，其能量函数、系统状态分布函数和序参量都是未知。在这种情况下，前面所介绍的基于哈密顿量的重整化群理论就面临很大的挑战。为研究复杂系统的相变，可以使用基于实验数据或者计算模拟数据的本征微观态方法 <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Maoxin|first3=Liu|last4=Wei|first4=Chen|last5=Xiaosong|first5=Chen|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。

对于大量需要研究的复杂系统，其能量函数、系统状态分布函数和序参量都是未知。在这种情况下，前面所介绍的基于哈密顿量的重整化群理论就面临很大的挑战。为研究复杂系统的相变，可以使用基于实验数据或者计算模拟数据的本征微观态方法 <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>。

对于<math>N</math>个个体组成的系统，我们通过收集每个个体随时间演化的数据来构成系综矩阵。通过对系综矩阵的奇异值分解，可以将原复杂系统分解成不同的本征模式（特征向量的直积）以及模式所对应的权重（特征值）的线性组合。在该理论体系下复杂系统的相变与临界现象可通过本征微观态的凝聚来确定，这类似于玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚，即宏观数量玻色子在极低温下处于基态能级。

对于<math>N</math>个个体组成的系统，我们通过收集每个个体随时间演化的数据来构成系综矩阵。通过对系综矩阵的奇异值分解，可以将原复杂系统分解成不同的本征模式（特征向量的直积）以及模式所对应的权重（特征值）的线性组合。在该理论体系下复杂系统的相变与临界现象可通过本征微观态的凝聚来确定，这类似于玻色气体的玻色-爱因斯坦凝聚，即宏观数量玻色子在极低温下处于基态能级。

利用本征微观态理论不需要提前预知系统哈密顿量具体形式的优点，可以将重整化群思想引入本征微观态理论中。在研究了不同维度的伊辛模型在经过卡丹诺夫块变换之后，系统本征微观态的权重，即本征值，在变换前后的关系。发现系统本征值经过变换后存在三个不动点，分别对应系统处于高温极限、低温极限以及临界点处。其中高、低温极限下为平庸的不动点，其变换后的本征值满足：

利用本征微观态理论不需要提前预知系统哈密顿量具体形式的优点，可以将重整化群思想引入本征微观态理论中。在研究了不同维度的伊辛模型在经过卡丹诺夫块变换之后，系统本征微观态的权重，即本征值，在变换前后的关系。发现系统本征值经过变换后存在三个不动点，分别对应系统处于高温极限、低温极限以及临界点处。其中高、低温极限下为平庸的不动点，其变换后的本征值满足：

<math>\sigma_1^b=b^\omega \sigma_1</math>，其中高温下<math>ω=d/2</math>，低温下<math>ω=0</math>，<math>d</math>为系统的空间维度。

<math>\sigma_1^b=b^\omega \sigma_1</math>， <ref>{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Dong|first3=Jiaqi|last4=Fan|first4=Jingfang|last5=Liu|first5=Maoxin|last6=Chen|first6=Xiaosong|title=Renormalization Group Theory of Eigen Microstates|journal=Chinese Physics Letters|date=7 June 2022|volume=39|issue=8|doi=/10.1088/0256-307X/39/8/080503}}</ref>其中高温下<math>ω=d/2</math>，低温下<math>ω=0</math>，<math>d</math>为系统的空间维度。

在临界点处为非平庸的不动点，变换后的本征值满足：

在临界点处为非平庸的不动点，变换后的本征值满足：

[[文件:二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ1）在临界点处为非平庸不动点，并满足标度关系。.png|缩略图|二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ₁）在临界点处为非平庸不动点，并满足标度关系。]]

[[文件:二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ1）在临界点处为非平庸不动点，并满足标度关系。.png|缩略图|二维伊辛系统在重整化变换后，第一大本征微观态权重（σ₁）在临界点处为非平庸不动点，并满足标度关系。]]

结合之前研究所给出<math>σ_1</math>的在临界点处满足的有限尺度标度形式<math>\sigma_1\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=V^{-\bar{\beta}} F_1\left(t V^{\frac{1}{\bar{v}}}, h V^{\frac{1}{\bar{v}_h}}\right)</math><ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Teng|first2=Liu|last3=Maoxin|first3=Liu|last4=Wei|first4=Chen|last5=Xiaosong|first5=Chen|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>，我们可以获得系统本征值在重整化群变换后的关系为：

结合之前研究所给出<math>σ_1</math>的在临界点处满足的有限尺度标度形式<math>\sigma_1\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=V^{-\bar{\beta}} F_1\left(t V^{\frac{1}{\bar{v}}}, h V^{\frac{1}{\bar{v}_h}}\right)</math> <ref name="hu">{{cite journal |last1=Hu|first1=Gaoke|last2=Liu|first2=Teng|last3=Liu|first3=Maoxin|last4=Chen|first4=Wei|last5=Chen|first5=Xiaosong|title=Condensation of eigen microstate in statistical ensemble and phase transition|journal=Science China Physics, Mechanics & Astronomy|date=25 April 2019|volume=62|issue=2019|doi=10.1007/s11433-018-9353-x}}</ref>，我们可以获得系统本征值在重整化群变换后的关系为：

<math>\sigma_1^b\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=b^{\frac{\beta}{v}} \sigma_1\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)</math>，其中<math>\sigma_1^b</math>为经过尺寸为<math>b \tilde{a}</math>的元胞变换后的本征值，<math>σ_1</math>为原系统的本征值。该关系分别在一维，二维和三维伊辛模型中得到了检验，右图为二维伊辛模型的结果。

<math>\sigma_1^b\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)=b^{\frac{\beta}{v}} \sigma_1\left(t, h ; \frac{L}{\tilde{a}}\right)</math>，其中<math>\sigma_1^b</math>为经过尺寸为<math>b \tilde{a}</math>的元胞变换后的本征值，<math>σ_1</math>为原系统的本征值。该关系分别在一维，二维和三维伊辛模型中得到了检验，右图为二维伊辛模型的结果。