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圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻（图1）：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。

圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻（图1）：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。

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文件:图片1-1.png|埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ

文件:图片1-1.png|图1：埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ

文件:图片1-2.png|圆极限Ⅳ

文件:图片1-2.png|圆极限Ⅳ

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(1) 指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为 时，圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。

(1) 指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大，之所以远离中心的鱼看起来小，并不是鱼真的变小，而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上，圆盘空间是指数级增长的：当半径为 时，圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量，而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘，每一条鱼会显得无限小，此时圆盘装下了整个宇宙。

指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），这意味着两点之间的最短距离不再是直线，而是向圆盘中心弯曲的曲线。

指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），这意味着两点之间的最短距离不再是直线，而是向圆盘中心弯曲的曲线。