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删除70字节 、 2022年12月28日 (三) 07:41
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圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻(图1):前者的主要形象是各色的鱼,它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛,紧凑排布在一个圆盘上;后者刻画的是天使和恶魔,黑白对立,排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧,不过我们要宣布:圆盘才是具有魔力的,它使所有的鱼都一样大(天使和恶魔也是如此)。
 
圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻(图1):前者的主要形象是各色的鱼,它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛,紧凑排布在一个圆盘上;后者刻画的是天使和恶魔,黑白对立,排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧,不过我们要宣布:圆盘才是具有魔力的,它使所有的鱼都一样大(天使和恶魔也是如此)。
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文件:图片1-1.png|埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ
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文件:图片1-1.png|图1:埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ
 
文件:图片1-2.png|圆极限Ⅳ
 
文件:图片1-2.png|圆极限Ⅳ
 
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[[文件:图片1-1.png|缩略图|埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ]]
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[[文件:图片1-2.png|缩略图|圆极限Ⅳ]]
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(1) 指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大,之所以远离中心的鱼看起来小,并不是鱼真的变小,而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上,圆盘空间是指数级增长的:当半径为 时,圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量,而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘,每一条鱼会显得无限小,此时圆盘装下了整个宇宙。
 
(1) 指数增长的空间。圆盘上的每条鱼都一样大,之所以远离中心的鱼看起来小,并不是鱼真的变小,而是圆盘在此处“膨胀”从而装下了更多的鱼。事实上,圆盘空间是指数级增长的:当半径为 时,圆盘的面积将增长为 ——圆盘面积=单条鱼的面积×鱼的数量,而鱼的数量在指数增长——我们熟悉的面积公式 不再适用。如果来到圆盘边缘,每一条鱼会显得无限小,此时圆盘装下了整个宇宙。
 
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏,这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等,因而可用鱼长作为标尺。在图2中,黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼(黄线更长),这意味着两点之间的最短距离不再是直线,而是向圆盘中心弯曲的曲线。
 
指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏,这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等,因而可用鱼长作为标尺。在图2中,黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼(黄线更长),这意味着两点之间的最短距离不再是直线,而是向圆盘中心弯曲的曲线。
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