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== 细辨双曲模型 ==
== 细辨双曲模型 ==
尽管庞加莱圆盘已经广为人知，但还远非双曲空间的全部。细致地梳理双曲空间，我们会发现有各种不同的双曲模型，以及模型背后巨擘如云、精彩纷呈的非欧几何史。
尽管庞加莱圆盘已经广为人知，但还远非双曲空间的全部。细致地梳理双曲空间，我们会发现有各种不同的双曲模型，以及模型背后巨擘如云、精彩纷呈的非欧几何史。
曲率、镶嵌、海珊瑚
=== 曲率、镶嵌、海珊瑚 ===
为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。
为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。
图6 三种曲率
图6 三种曲率
空间的大小可以用多边形铺贴法（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些更小的正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。
空间的大小可以用多边形铺贴法（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些更小的正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。
至此我们了解了曲率这个重要概念， 而双曲空间正是由曲率来定义的：双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的几何性质，如最短路径是曲线，三角形内角和小于180度等，都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多：在双曲空间里不存在矩形，圆的面积和周长按同样的速度增长，等等。
至此我们了解了曲率这个重要概念， 而双曲空间正是由曲率来定义的：双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的几何性质，如最短路径是曲线，三角形内角和小于180度等，都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多：在双曲空间里不存在矩形，圆的面积和周长按同样的速度增长，等等。
地图投影
=== 地图投影 ===
我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚，你可能会疑惑，他们看起来如此不同，真的是同一类空间吗？
我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚，你可能会疑惑，他们看起来如此不同，真的是同一类空间吗？
这个问题可以类比地图投影来回答：地球只有一个，但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯，光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息，但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图（著名的墨卡托投影），在南北极附近的变形就很大。
这个问题可以类比地图投影来回答：地球只有一个，但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯，光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息，但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图（著名的墨卡托投影），在南北极附近的变形就很大。
想象整个双曲空间是困难的， 也是令人兴奋的，它一直可追溯到古希腊数学家欧几里得的平行公设——世世代代的数学家为此追问了上千年，到19世纪终于结出了非欧几何的硕果，使几何学迎来高光时刻。
想象整个双曲空间是困难的， 也是令人兴奋的，它一直可追溯到古希腊数学家欧几里得的平行公设——世世代代的数学家为此追问了上千年，到19世纪终于结出了非欧几何的硕果，使几何学迎来高光时刻。
共形模型
=== 共形模型 ===
最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。
最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。
共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
图19 共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
图19 共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
射影模型
=== 射影模型 ===
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)
图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)
双曲面模型
=== 双曲面模型 ===
除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。
除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等，希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错，但是双曲面嵌入的不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等，希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错，但是双曲面嵌入的不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。