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图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）

图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）

3.跨学科旅行

== 3.跨学科旅行 ==

如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。

如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。

意识幻觉是双曲空间吗

=== 意识幻觉是双曲空间吗 ===

还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现了。

还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现了。

服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..

服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..

图30 致幻作用下的视觉体验（图片来源于https://qualiacomputing.com/）

图30 致幻作用下的视觉体验（图片来源于https://qualiacomputing.com/）

研究者认为大脑在致幻药物作用下感知的意识世界是双曲空间，并给出了详细论证。听起来很迷幻，但却是哈佛大学迷幻科学俱乐部的一项严肃研究，更新的研究进展让我们拭目以待。

研究者认为大脑在致幻药物作用下感知的意识世界是双曲空间，并给出了详细论证。听起来很迷幻，但却是哈佛大学迷幻科学俱乐部的一项严肃研究，更新的研究进展让我们拭目以待。

双曲空间与相对论

=== 双曲空间与相对论 ===

爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。下图中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。

爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。下图中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。

图31 光锥图示（图片来源于维基百科)

图31 光锥图示（图片来源于维基百科)

双曲几何与复杂网络

=== 双曲几何与复杂网络 ===

网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构(尤其是层级性)，而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。

网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构(尤其是层级性)，而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。

图32 复杂网络的双曲几何（图中紫色区域为双曲圆，中心节点与双曲圆内的节点有更大的概率产生链接，这与真实网络基本吻合，图片来源于论文Generating massive complex networks with hyperbolic geometry faster in practice）

图32 复杂网络的双曲几何（图中紫色区域为双曲圆，中心节点与双曲圆内的节点有更大的概率产生链接，这与真实网络基本吻合，图片来源于论文Generating massive complex networks with hyperbolic geometry faster in practice）

双曲贴现与行为经济学

=== 双曲贴现与行为经济学 ===

双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。

双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。

在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心)，在与预期有关的实际决策中人们中不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。

在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心)，在与预期有关的实际决策中人们中不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。