更改

=== 曲率、镶嵌、海珊瑚 ===

=== 曲率、镶嵌、海珊瑚 ===

为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。

为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。

空间的大小可以用多边形铺贴法（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些更小的正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。

空间的大小可以用多边形铺贴法（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些更小的正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。

图7 曲率与空间的大小

[[文件:曲率与空间的大小.png|缩略图|图7：曲率与空间的大小]]

 

由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面)；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。

由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面)；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。

你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。在下图中，每个交点处拼接了5个正方形，比平面多装下了一块，代价则是平面产生了翘曲。如果我们翘曲更多，例如在一点拼接6个正方形（实际不一定可行），空间就会变得更大。

你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。在下图中，每个交点处拼接了5个正方形，比平面多装下了一块，代价则是平面产生了翘曲。如果我们翘曲更多，例如在一点拼接6个正方形（实际不一定可行），空间就会变得更大。

其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。

其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。

图9 钩针编织的海珊瑚（图片来源于https://crochetcoralreef.org/）

图9 钩针编织的海珊瑚（图片来源于https://crochetcoralreef.org/）

图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）

图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）

== 3.跨学科旅行 ==

== 3.跨学科旅行 ==

如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。

如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。