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添加212字节 、 2022年12月28日 (三) 08:19
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=== 曲率、镶嵌、海珊瑚 ===
 
=== 曲率、镶嵌、海珊瑚 ===
 
为什么有的空间会呈现指数增长呢?这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度,可分为三种:直线/平面不弯曲,曲率是0,圆/球的弯曲使空间封闭,还有一种弯曲使空间发散。
 
为什么有的空间会呈现指数增长呢?这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度,可分为三种:直线/平面不弯曲,曲率是0,圆/球的弯曲使空间封闭,还有一种弯曲使空间发散。
[[文件:三种曲率.png|缩略图|图6:三种曲率]]
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[[文件:三种曲率.png|替代=图6 三种曲率|居中|缩略图|568x568像素|图6:三种曲率]]
 
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空间的大小可以用多边形铺贴法(在数学中叫做镶嵌)来比较。曲率如何影响空间的大小呢?来看一个例子:下图有三种曲面,左边的是平面,用正六边形可以均匀铺满;中间的是足球形(近似球面),铺满这样的球面要用一些更小的正五边形(黑色)来替代正六边形,从而“节约”了一些面积;而右图中需要填充一些正七边形(黑色)来替代正六边形,此时空间是翘曲的,因而增大了一些面积。
 
空间的大小可以用多边形铺贴法(在数学中叫做镶嵌)来比较。曲率如何影响空间的大小呢?来看一个例子:下图有三种曲面,左边的是平面,用正六边形可以均匀铺满;中间的是足球形(近似球面),铺满这样的球面要用一些更小的正五边形(黑色)来替代正六边形,从而“节约”了一些面积;而右图中需要填充一些正七边形(黑色)来替代正六边形,此时空间是翘曲的,因而增大了一些面积。
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[[文件:曲率与空间的大小.png|缩略图|图7:曲率与空间的大小]]
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[[文件:曲率与空间的大小.png|缩略图|图7:曲率与空间的大小|替代=|居中|568x568像素]]
    
由此可知,正曲率对应的是封闭空间(如球形空间),它使空间收缩(相对于平面);负曲率对应的是开放式无限空间(如双曲空间)。
 
由此可知,正曲率对应的是封闭空间(如球形空间),它使空间收缩(相对于平面);负曲率对应的是开放式无限空间(如双曲空间)。
 
你可能会问,负曲率能使空间变得多大呢?首先,曲率有大小:翘曲越多,空间扩张就越多。在下图中,每个交点处拼接了5个正方形,比平面多装下了一块,代价则是平面产生了翘曲。如果我们翘曲更多,例如在一点拼接6个正方形(实际不一定可行),空间就会变得更大。
 
你可能会问,负曲率能使空间变得多大呢?首先,曲率有大小:翘曲越多,空间扩张就越多。在下图中,每个交点处拼接了5个正方形,比平面多装下了一块,代价则是平面产生了翘曲。如果我们翘曲更多,例如在一点拼接6个正方形(实际不一定可行),空间就会变得更大。
[[文件:翘曲的平面(图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained ).png|缩略图|图8:翘曲的平面(图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained )]]
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[[文件:翘曲的平面(图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained ).png|缩略图|图8:翘曲的平面(图片来源于Non-EucilideanGeometryExplained )|替代=|居中|368x368像素]]
       
其次,空间是连续的,在一点处弯曲,邻近的点也跟着弯曲,从单点扩展到区域,整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间,从而极大地扩充了体表面积:例如,海珊瑚的尺寸并不大,但如果沿着它的边缘绕上一圈,经过的距离将千百倍的放大。
 
其次,空间是连续的,在一点处弯曲,邻近的点也跟着弯曲,从单点扩展到区域,整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间,从而极大地扩充了体表面积:例如,海珊瑚的尺寸并不大,但如果沿着它的边缘绕上一圈,经过的距离将千百倍的放大。
[[文件:钩针编织的海珊瑚(图片来源于https---crochetcoralreef.org-).jpg|缩略图|钩针编织的海珊瑚(图片来源于https---crochetcoralreef.org-)]]
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[[文件:钩针编织的海珊瑚(图片来源于https---crochetcoralreef.org-).jpg|缩略图|图9:钩针编织的海珊瑚(图片来源于https---crochetcoralreef.org-)|替代=钩针编织的海珊瑚(图片来源于https---crochetcoralreef.org-)|居中|400x400像素]]
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[[文件:银耳(图片来源于网络).jpg|居中|缩略图|398x398像素|图10:银耳(图片来源于网络)]]
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图9 钩针编织的海珊瑚(图片来源于https://crochetcoralreef.org/)
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图10 银耳(图片来源于网络)
   
至此我们了解了曲率这个重要概念, 而双曲空间正是由曲率来定义的:双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的几何性质,如最短路径是曲线,三角形内角和小于180度等,都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多:在双曲空间里不存在矩形,圆的面积和周长按同样的速度增长,等等。
 
至此我们了解了曲率这个重要概念, 而双曲空间正是由曲率来定义的:双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的几何性质,如最短路径是曲线,三角形内角和小于180度等,都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多:在双曲空间里不存在矩形,圆的面积和周长按同样的速度增长,等等。
  

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