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添加477字节 、 2022年12月28日 (三) 08:23
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我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚,你可能会疑惑,他们看起来如此不同,真的是同一类空间吗?
 
我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚,你可能会疑惑,他们看起来如此不同,真的是同一类空间吗?
 
这个问题可以类比地图投影来回答:地球只有一个,但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯,光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息,但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图(著名的墨卡托投影),在南北极附近的变形就很大。
 
这个问题可以类比地图投影来回答:地球只有一个,但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯,光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息,但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图(著名的墨卡托投影),在南北极附近的变形就很大。
 
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[[文件:图11 常见的地图投影(图片来源于网络).png|替代=图11:常见的地图投影(图片来源于网络)|居中|缩略图|568x568像素|图11:常见的地图投影(图片来源于网络)]]
 
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图11 常见的地图投影(图片来源于网络)
      
与地球-地图投影类似,双曲空间只有一个,而双曲空间模型有很多种。那么猜一猜海珊瑚和庞加莱圆盘谁是真正的双曲空间?答案是——它俩都是投影,而真身并不可见——大数学家希尔伯特证明,双曲空间不能等距的嵌入到3维欧式空间,也就是说我们身处的世界中不可能看到完整的双曲空间。
 
与地球-地图投影类似,双曲空间只有一个,而双曲空间模型有很多种。那么猜一猜海珊瑚和庞加莱圆盘谁是真正的双曲空间?答案是——它俩都是投影,而真身并不可见——大数学家希尔伯特证明,双曲空间不能等距的嵌入到3维欧式空间,也就是说我们身处的世界中不可能看到完整的双曲空间。
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最常见的一类双曲模型叫做共形模型,共形性也被称为保角性,是指图形在投影前后尺寸有缩放,但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型,除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上,赋予我们上帝视角,这也是它广受欢迎的原因之一。
 
最常见的一类双曲模型叫做共形模型,共形性也被称为保角性,是指图形在投影前后尺寸有缩放,但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型,除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上,赋予我们上帝视角,这也是它广受欢迎的原因之一。
 
共形模型的缺点是保角不保距,在埃舍尔的圆极限中,我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小;不但不保距,共形模型计算距离的方式也比较复杂。
 
共形模型的缺点是保角不保距,在埃舍尔的圆极限中,我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小;不但不保距,共形模型计算距离的方式也比较复杂。
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[[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘(左图为圆盘上的平动,右图为转动,注意在运动中直角保持不变)(图片来源于http---bulatov.org).gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘(左图为圆盘上的平动)(图片来源于http---bulatov.org)]]
     

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