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我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚，你可能会疑惑，他们看起来如此不同，真的是同一类空间吗？

我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚，你可能会疑惑，他们看起来如此不同，真的是同一类空间吗？

这个问题可以类比地图投影来回答：地球只有一个，但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯，光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息，但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图（著名的墨卡托投影），在南北极附近的变形就很大。

这个问题可以类比地图投影来回答：地球只有一个，但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯，光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息，但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图（著名的墨卡托投影），在南北极附近的变形就很大。

 

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图11 常见的地图投影（图片来源于网络）

与地球-地图投影类似，双曲空间只有一个，而双曲空间模型有很多种。那么猜一猜海珊瑚和庞加莱圆盘谁是真正的双曲空间？答案是——它俩都是投影，而真身并不可见——大数学家希尔伯特证明，双曲空间不能等距的嵌入到3维欧式空间，也就是说我们身处的世界中不可能看到完整的双曲空间。

与地球-地图投影类似，双曲空间只有一个，而双曲空间模型有很多种。那么猜一猜海珊瑚和庞加莱圆盘谁是真正的双曲空间？答案是——它俩都是投影，而真身并不可见——大数学家希尔伯特证明，双曲空间不能等距的嵌入到3维欧式空间，也就是说我们身处的世界中不可能看到完整的双曲空间。

最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。

最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。

共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。

共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。