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最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。
最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。
共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼放在圆盘各处有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。
[[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）]]
[[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）|替代=|居中|398x398像素]]
共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。
共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。
图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
图19 共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
图19 共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
=== 射影模型 ===
===射影模型===
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)
图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)
=== 双曲面模型 ===
===双曲面模型===
除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。
除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等，希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错，但是双曲面嵌入的不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等，希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错，但是双曲面嵌入的不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。
图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）
图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）
== 3.跨学科旅行 ==
==3.跨学科旅行==
如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。
如果你能读到这里，大概已经被双曲空间的各种模型看得眼花缭乱了，关于几何的部分就谈论到此，接下来坐稳扶好，让我们开启一场与双曲空间有关的跨学科旅行。限于笔者学识，这场旅行只能浮光掠影，希望能引起读者兴趣，收到抛砖引玉之效。
=== 意识幻觉是双曲空间吗 ===
===意识幻觉是双曲空间吗===
还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现了。
还记得前面提到过，双曲空间是一个飘忽而来飘忽而去的世界吗？仔细想想，大脑有时好像也是这样！时间流逝，过去的事情在记忆中被压缩得很小，想找也找不着，但是有一点线索牵引，它又突然浮现了。
服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..
服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..
图30 致幻作用下的视觉体验（图片来源于https://qualiacomputing.com/）
图30 致幻作用下的视觉体验（图片来源于https://qualiacomputing.com/）
研究者认为大脑在致幻药物作用下感知的意识世界是双曲空间，并给出了详细论证。听起来很迷幻，但却是哈佛大学迷幻科学俱乐部的一项严肃研究，更新的研究进展让我们拭目以待。
研究者认为大脑在致幻药物作用下感知的意识世界是双曲空间，并给出了详细论证。听起来很迷幻，但却是哈佛大学迷幻科学俱乐部的一项严肃研究，更新的研究进展让我们拭目以待。
=== 双曲空间与相对论 ===
===双曲空间与相对论===
爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。下图中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。
爱因斯坦构建狭义相对论所用的时空正是闵可夫斯基时空，也就是双曲面模型。狭义相对论中，常用光锥来图示化时空，每一点表示一个时空事件。下图中心点代表此时此刻，上部的圆锥是此刻能够影响到的未来，下部的圆锥是能够影响此刻的过去。在这样的系统中，不同观察者的参考系变换对应于双曲空间的等距变换。
图31 光锥图示（图片来源于维基百科)
图31 光锥图示（图片来源于维基百科)
=== 双曲几何与复杂网络 ===
===双曲几何与复杂网络===
网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构(尤其是层级性)，而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。
网络科学创立之初，以其发现的幂律分布、小世界特性（六度空间）而闻名，但是为什么复杂网络具有这些性质，紧接着成为重要的问题。复杂网络的种种特性意味着它不是随机生成的，而是有内在的几何结构(尤其是层级性)，而双曲空间正是复杂网络背后的几何。在生成网络的过程中，如果按节点之间的双曲距离来产生连接，那么网络的度分布、小世界等特性都可以自然的推导出来。当前双曲几何与神经网络深度交叉，已经成为网络科学和机器学习领域的热点问题。
图32 复杂网络的双曲几何（图中紫色区域为双曲圆，中心节点与双曲圆内的节点有更大的概率产生链接，这与真实网络基本吻合，图片来源于论文Generating massive complex networks with hyperbolic geometry faster in practice）
图32 复杂网络的双曲几何（图中紫色区域为双曲圆，中心节点与双曲圆内的节点有更大的概率产生链接，这与真实网络基本吻合，图片来源于论文Generating massive complex networks with hyperbolic geometry faster in practice）
=== 双曲贴现与行为经济学 ===
===双曲贴现与行为经济学===
双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。
双曲贴现，指的是人们在评估未来的收益时，倾向于在近期使用更低的折现率，在远期使用更高的折现率——人们常常宁可要眼前较小的利益，也不要日后较多的报酬。
在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心)，在与预期有关的实际决策中人们中不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。
在经济学中，资金由于其时间价值产生复利，并按指数形式增长。但由于人类的认知特点（如对等待的不耐心)，在与预期有关的实际决策中人们中不是按指数效应思考的，非理性决策的结果常常表现为双曲折现率——更追求当下的利益。
图33 双曲折现与指数折现（图片来源于网络）
图33 双曲折现与指数折现（图片来源于网络）
=== 双曲与数据科学 ===
===双曲与数据科学===
组织和管理海量数据是我们这个时代的迫切需求，而双曲空间的容纳能力和内在层级性是数据治理的有力手段，也是大数据中日益重要的研究方向。
组织和管理海量数据是我们这个时代的迫切需求，而双曲空间的容纳能力和内在层级性是数据治理的有力手段，也是大数据中日益重要的研究方向。
实际上，双曲空间已经在数据科学领域大显身手，例如知识图谱的表示方法中，就有一类运用双曲空间来表示知识的抽象层级；在复杂网络中将节点嵌入双曲空间，可以完成连边预测等任务；基于双曲几何的网络导航也是一种高效的导航算法。由于人类知识体系有着显著的层级特征，用双曲空间相关算法处理知识图谱和其他信息的优势将会得到更多验证。
实际上，双曲空间已经在数据科学领域大显身手，例如知识图谱的表示方法中，就有一类运用双曲空间来表示知识的抽象层级；在复杂网络中将节点嵌入双曲空间，可以完成连边预测等任务；基于双曲几何的网络导航也是一种高效的导航算法。由于人类知识体系有着显著的层级特征，用双曲空间相关算法处理知识图谱和其他信息的优势将会得到更多验证。
图34 知识图谱的双曲嵌入 （图片来源于https://github.com/facebookresearch/poincare-embeddings）
图34 知识图谱的双曲嵌入 （图片来源于https://github.com/facebookresearch/poincare-embeddings）
=== 双曲与艺术 ===
===双曲与艺术===
双曲造型是科学和艺术融合的一个典范：双曲几何为艺术家提供了源源不断的素材和灵感，艺术作品则使双曲几何不只躺在数学家的手稿中，而是广泛影响了人类体验。本文在行文中穿插了一些艺术作品，但仅是冰山一角，在建筑、服饰、绘画、游戏、设计等艺术门类中都有鲜明的存在。
双曲造型是科学和艺术融合的一个典范：双曲几何为艺术家提供了源源不断的素材和灵感，艺术作品则使双曲几何不只躺在数学家的手稿中，而是广泛影响了人类体验。本文在行文中穿插了一些艺术作品，但仅是冰山一角，在建筑、服饰、绘画、游戏、设计等艺术门类中都有鲜明的存在。
图35 广州塔，塔身按单叶双曲面设计（图片来源于https://www.klook.com/）
图35 广州塔，塔身按单叶双曲面设计（图片来源于https://www.klook.com/）
图39 双曲扫雷游戏mineswipper
图39 双曲扫雷游戏mineswipper
== 4.总结 ==
==4.总结==
在本文中，我们从欣赏埃舍尔的画作开始认识双曲空间，随后纵览了双曲空间最重要的几种模型，再沿着学科脉络进行了一番漫游。双曲几何这一领域始于对平行公设的颠覆，历经数代数学家的发展已成知识大厦，并深刻渗透到各个学科和人类活动中。
在本文中，我们从欣赏埃舍尔的画作开始认识双曲空间，随后纵览了双曲空间最重要的几种模型，再沿着学科脉络进行了一番漫游。双曲几何这一领域始于对平行公设的颠覆，历经数代数学家的发展已成知识大厦，并深刻渗透到各个学科和人类活动中。
在双曲旅行即将结束之际，我们来回顾本文内容，列出如下的文章结构——这不过是一个普通的思维导图，但当读者读罢此文，应当意识到这同时也是树结构，并且通向一个广阔的双曲空间。
在双曲旅行即将结束之际，我们来回顾本文内容，列出如下的文章结构——这不过是一个普通的思维导图，但当读者读罢此文，应当意识到这同时也是树结构，并且通向一个广阔的双曲空间。
[[文件:总结思维导图.png|居中|缩略图|568x568像素|总结思维导图]]
== 参考资料 ==
==参考资料==
* [https://www.toutiao.com/video/6849683592776253966/?channel=&source=search_tab 双曲几何与半球面模型的几种射影]
*[https://www.toutiao.com/video/6849683592776253966/?channel=&source=search_tab 双曲几何与半球面模型的几种射影]
* [https://www.bilibili.com/s/video/BV1mL4y1a7Xx 何为双曲空间？关于非欧几何的可视化解释（第一部）]
*[https://www.bilibili.com/s/video/BV1mL4y1a7Xx 何为双曲空间？关于非欧几何的可视化解释（第一部）]
* Conformal Models of Hyperbolic Geometry
*Conformal Models of Hyperbolic Geometry
** [http://bulatov.org/math/1001/ 钩针编制双曲空间]
**[http://bulatov.org/math/1001/ 钩针编制双曲空间]
** [https://www.google.com.hk/search?q=architecture+non+euclidean+space&tbm=isch&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwjckuGf8sr5AhUKgpQKHSaICxsQtI8BKAB6BAgAEC8 非欧建筑设计]
**[https://www.google.com.hk/search?q=architecture+non+euclidean+space&tbm=isch&hl=en&sa=X&ved=2ahUKEwjckuGf8sr5AhUKgpQKHSaICxsQtI8BKAB6BAgAEC8 非欧建筑设计]
* [https://qualiacomputing.com/2022/05/02/dmt-and-hyperbolic-geometry-1-million-views-special/ DMT与双曲几何]
*[https://qualiacomputing.com/2022/05/02/dmt-and-hyperbolic-geometry-1-million-views-special/ DMT与双曲几何]
* [https://chris-said.io/2018/02/04/hyperbolic-discounting/ Hyperbolic discounting — The irrational behavior that might be rational after all]
*[https://chris-said.io/2018/02/04/hyperbolic-discounting/ Hyperbolic discounting — The irrational behavior that might be rational after all]