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第142行： + − + + + + − + + + + − 图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）+ − + − 从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。+ − + −
→双曲面模型
除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。
除了共形模型和射影模型，还有一种重要的模型叫双曲面模型，也叫闵可夫斯基模型。双曲面模型有明确的物理意义，尤其是与狭义相对论密切相关。
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等，希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错，但是双曲面嵌入的不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。
双曲面模型是双曲空间的三维等距嵌入模型。等等，希尔伯特不是说过双曲空间无法嵌入到三维欧式空间吗。没错，但是双曲面嵌入的不是欧式空间，而是闵可夫斯基空间。闵可夫斯基空间和欧式空间的距离定义不同：在闵可夫斯基空间中的居民看来，双曲面是最完美的几何体，就像我们看待球面一样，它是到定点的距离为定长的点集。
[[文件:图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）.jpg|居中|缩略图|386x386像素|图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）]]
图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）
图25 双曲面模型（图片来源于论文 Hyperbolic Graph Convolutional Neural Networks ）
除了距离比较反常之外，双曲面模型其实具有很好的对称性，并且符合我们的物理直觉。例如，双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线（最短距离)。
除了距离比较反常之外，双曲面模型其实具有很好的对称性，并且符合我们的物理直觉。例如，双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线（最短距离)。
前面讲了球面可以有很多种投影，又讲了双曲面是闵可夫斯基空间中的球面，那它也可以有很多投影，于是戏法就来了：从顶点向双曲面投影，在水平面上将得到庞加莱圆盘（注意圆盘上的测地线是曲线）。
前面讲了球面可以有很多种投影，又讲了双曲面是闵可夫斯基空间中的球面，那它也可以有很多投影，于是戏法就来了：从顶点向双曲面投影，在水平面上将得到庞加莱圆盘（注意圆盘上的测地线是曲线）。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
文件:图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）1.png|图26：双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
文件:图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）2.gif|图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
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图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。
这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）.png|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）2.jpg|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
</gallery>图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
</gallery>图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
如果采用平行光线投影，则可以得到Gans模型，Gans模型是另一种共形模型。
如果采用平行光线投影，则可以得到Gans模型，Gans模型是另一种共形模型。