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第123行： + − 图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络) − + + + + + − + − （图片来源于书籍Hyperbolic geometry ) + + + + − + − + − + +
→射影模型
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
[[文件:图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络).png|居中|缩略图|568x568像素|图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络)]]
图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络)
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文件:图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络).jpg|图21 克莱因圆盘上的长度计算（图片来源于网络)
文件:图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络)2.png|图21 克莱因圆盘上的长度计算（图片来源于网络)
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克莱因圆盘不再是保角的，这意味着圆盘上的图案会发生变形：例如欧式空间的圆在克莱因圆盘上会表现为椭圆形，那么埃舍尔的鱼游到射影圆盘上是什么样子呢？
克莱因圆盘不再是保角的，这意味着圆盘上的图案会发生变形：例如欧式空间的圆在克莱因圆盘上会表现为椭圆形，那么埃舍尔的鱼游到射影圆盘上是什么样子呢？
图22 圆极限克莱因圆盘版 图23 克莱因圆盘上的三角形
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文件:图22 圆极限克莱因圆盘版 .png|图22 圆极限克莱因圆盘版（图片来源于书籍''Hyperbolic geometry'')
文件:图23 克莱因圆盘上的三角形（图片来源于网络）.jpg|图23 克莱因圆盘上的三角形（图片来源于网络）
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也许你不熟悉克莱因圆盘，但是听说过克莱因瓶吗，那个4维空间的瓶子？是的，盘子和瓶子出自同一位。顺便说一句，克莱因瓶是莫比乌斯环的高维对应物。
也许你不熟悉克莱因圆盘，但是听说过克莱因瓶吗，那个4维空间的瓶子？是的，盘子和瓶子出自同一位。顺便说一句，克莱因瓶是莫比乌斯环的高维对应物。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
文件:图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络).jpg|图24：克莱因
图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)
文件:图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)2.jpg|图24：克莱因瓶 (图片来源于网络)
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===双曲面模型===
===双曲面模型===