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第83行： + + + + − 共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。 − + + + + − 另一种常见的共形模型是上半平面模型（全称贝尔特拉米-庞加莱半平面，简称半平面模型），它是下部有边界而上部无限开放的半平面。在半平面模型中，自上而下的层级非常显著——类比树结构，半平面上部无穷远处对应着树的根节点，而下部边缘对应叶子节点。 − + − + − + − + − + − + − + − −
→共形模型
[[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）|替代=|居中|398x398像素]]
[[文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|缩略图|图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）|替代=|居中|398x398像素]]
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文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图12：作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）
文件:图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图12：作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动）（图片来源于http---bulatov.org）
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图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http://bulatov.org）
图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（左图为圆盘上的平动，右图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http://bulatov.org）
图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，以共形圆盘为主题的造型作品层出不穷。<gallery widths="500" heights="300">
文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
文件:图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)2.jpg|图13：以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
</gallery>另一种常见的共形模型是上半平面模型（全称贝尔特拉米-庞加莱半平面，简称半平面模型），它是下部有边界而上部无限开放的半平面。在半平面模型中，自上而下的层级非常显著——类比树结构，半平面上部无穷远处对应着树的根节点，而下部边缘对应叶子节点。
图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科)
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文件:图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科).png|图14：上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科)
图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
</gallery>在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。<gallery widths="400" heights="400">
在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）2.gif|图15 半平面模型的平动（上）
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图15 半平面模型的转动（下)（图片来源于http://bulatov.org）
图15 半平面模型的平动（左）和转动（右)（图片来源于http://bulatov.org）
</gallery>两种共形模型（圆盘和半平面）之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界（叶节点)，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。没错，就是发现莫比乌斯环的那位。
两种共形模型（圆盘和半平面）之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界（叶节点)，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处(根节点)。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。没错，就是发现莫比乌斯环的那位。
[[文件:图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)2.png|居中|缩略图|1080x1080像素|图16：莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)]]
[[文件:图16 莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)2.png|居中|缩略图|1080x1080像素|图16：莫比乌斯与共形模型变换（图片来源于网络)]]