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文件:图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科).png|图14：上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科)
文件:图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科).png|图14：上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科)
文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
</gallery>在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。<gallery widths="400" heights="400">
</gallery>在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。<gallery widths="400" heights="400" mode="packed">
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）2.gif|图15 半平面模型的平动（上）
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）2.gif|图15 半平面模型的平动（上）
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图15 半平面模型的转动（下)（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图15 半平面模型的转动（下)（图片来源于http://bulatov.org）
例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。
例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。
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文件:图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络).jpeg|图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络)
文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络).jpeg|图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络)
有了黎曼映射定理的加持，共形模型还可以变换出星形、环形、螺旋形.…..这就是为什么数学家的信条是，发明（或证明）一个定理才是一件最实用的事！
有了黎曼映射定理的加持，共形模型还可以变换出星形、环形、螺旋形.…..这就是为什么数学家的信条是，发明（或证明）一个定理才是一件最实用的事！
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文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）1.jpg|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）1.jpg|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）2.jpg|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）2.jpg|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
另一类双曲空间模型叫做射影圆盘模型，也叫贝尔特拉米-克莱因模型，或克莱因圆盘。克莱因是19世纪德国的数学家，他把那个时代的所有几何统一起来，从群论的角度去分析，从而影响了几何学数十年的发展，这就是著名的“埃尔朗根纲领”。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
克莱因模型的优势在于：(1）圆盘上的弦就是双曲空间中的直线，因而两点之间的最短距离是沿着直线的（2）圆盘上的距离计算相当简单，仅使用线段比例即可，这是它得名射影圆盘的原因；克莱因圆盘也是一个单位圆盘包罗世界。
[[文件:图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络).png|缩略图|568x568像素|图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络)|替代=|无]]
[[文件:图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络).png|缩略图|568x568像素|图20 克莱因圆盘(左)与庞加莱圆盘(右)上的直线（图片来源于网络)|替代=|居中]]
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文件:图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络).jpg|图21 克莱因圆盘上的长度计算（图片来源于网络)
文件:图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络).jpg|图21 克莱因圆盘上的长度计算（图片来源于网络)
文件:图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络)2.png|图21 克莱因圆盘上的长度计算（图片来源于网络)
文件:图21 克莱因圆盘上的距离和圆（圆的大小相等，图片来源于网络)2.png|图21 克莱因圆盘上的长度计算（图片来源于网络)
克莱因圆盘不再是保角的，这意味着圆盘上的图案会发生变形：例如欧式空间的圆在克莱因圆盘上会表现为椭圆形，那么埃舍尔的鱼游到射影圆盘上是什么样子呢？
克莱因圆盘不再是保角的，这意味着圆盘上的图案会发生变形：例如欧式空间的圆在克莱因圆盘上会表现为椭圆形，那么埃舍尔的鱼游到射影圆盘上是什么样子呢？
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文件:图22 圆极限克莱因圆盘版 .png|图22 圆极限克莱因圆盘版（图片来源于书籍''Hyperbolic geometry'')
文件:图22 圆极限克莱因圆盘版 .png|图22 圆极限克莱因圆盘版（图片来源于书籍''Hyperbolic geometry'')
文件:图23 克莱因圆盘上的三角形（图片来源于网络）.jpg|图23 克莱因圆盘上的三角形（图片来源于网络）
文件:图23 克莱因圆盘上的三角形（图片来源于网络）.jpg|图23 克莱因圆盘上的三角形（图片来源于网络）
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也许你不熟悉克莱因圆盘，但是听说过克莱因瓶吗，那个4维空间的瓶子？是的，盘子和瓶子出自同一位。顺便说一句，克莱因瓶是莫比乌斯环的高维对应物。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
也许你不熟悉克莱因圆盘，但是听说过克莱因瓶吗，那个4维空间的瓶子？是的，盘子和瓶子出自同一位。顺便说一句，克莱因瓶是莫比乌斯环的高维对应物。<gallery mode="packed" widths="400" heights="300">
文件:图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络).jpg|图24：克莱因
文件:图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络).jpg|图24：克莱因
文件:图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)2.jpg|图24：克莱因瓶 (图片来源于网络)
文件:图24 克莱因与克莱因瓶(图片来源于网络)2.jpg|图24：克莱因瓶 (图片来源于网络)
除了距离比较反常之外，双曲面模型其实具有很好的对称性，并且符合我们的物理直觉。例如，双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线（最短距离)。
除了距离比较反常之外，双曲面模型其实具有很好的对称性，并且符合我们的物理直觉。例如，双曲面模型与过原点的平面相交即为测地线（最短距离)。
前面讲了球面可以有很多种投影，又讲了双曲面是闵可夫斯基空间中的球面，那它也可以有很多投影，于是戏法就来了：从顶点向双曲面投影，在水平面上将得到庞加莱圆盘（注意圆盘上的测地线是曲线）。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
前面讲了球面可以有很多种投影，又讲了双曲面是闵可夫斯基空间中的球面，那它也可以有很多投影，于是戏法就来了：从顶点向双曲面投影，在水平面上将得到庞加莱圆盘（注意圆盘上的测地线是曲线）。<gallery mode="packed" widths="400" heights="300">
文件:图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）1.png|图26：双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
文件:图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）1.png|图26：双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
文件:图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）2.gif|图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
文件:图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）2.gif|图26 双曲面与庞加莱圆盘（图片来源于网络）
这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
这个投影点其实是双曲面另一个分支的顶点。<gallery mode="packed" widths="400" heights="300">
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）.png|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）.png|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）2.jpg|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）2.jpg|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
</gallery>从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。<gallery mode="nolines" widths="400" heights="300">
</gallery>从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。<gallery mode="packed" widths="400" heights="300">
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
如果采用平行光线投影，则可以得到Gans模型，Gans模型是另一种共形模型。
如果采用平行光线投影，则可以得到Gans模型，Gans模型是另一种共形模型。
如果采用墨卡托投影，甚至可以得到Bands模型......
如果采用墨卡托投影，甚至可以得到Bands模型......
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文件:图28 双曲面与Gans模型（图片来源于网络）1.png|缩略图|图28：双曲面与Gans模型（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与Gans模型（图片来源于网络）1.png|图28：双曲面与Gans模型（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与Gans模型（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与Gans模型（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与Gans模型（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与Gans模型（图片来源于网络）
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每一条定理、每一个模型都是数学史的浓缩，非欧几何巨擘除了本文已经提到的几位，还有罗巴切夫斯基、曼德布罗特等，双曲空间是巨擘们用数学和想象力创造出来的平行宇宙。
每一条定理、每一个模型都是数学史的浓缩，非欧几何巨擘除了本文已经提到的几位，还有罗巴切夫斯基、曼德布罗特等，双曲空间是巨擘们用数学和想象力创造出来的平行宇宙。
[[文件:图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起-哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）.png|缩略图|图29：非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）|替代=|无|568x568像素]]
[[文件:图29 非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起-哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）.png|缩略图|图29：非欧几何群星(上排左起：罗巴切夫斯基、鲍耶、克莱因、庞加莱，考克斯特，米尔诺；下排左起:哈伯德，瑟斯顿，曼德博，佩雷尔曼)（图片来源于网络）|替代=|568x568像素|居中]]
==3.跨学科旅行==
==3.跨学科旅行==
服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..
服用迷幻药物后的体验则更奇特（据可信记录，请勿尝试）：观察者首先觉得周围的图景更加清晰（就像图片处理中的锐化效果），然后事物会扭曲好像长出尖角，周围的图案会不断重复形成层级，空间容纳了越来越多的物体，并且有窗口通向接连不断的异度空间.…..
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文件:图30 致幻作用下的视觉体验 .png|图30：致幻作用下的视觉体验
文件:图30 致幻作用下的视觉体验 .png|图30：致幻作用下的视觉体验
文件:图30 致幻作用下的视觉体验2.gif|图30：（图片来源于https://qualiacomputing.com/）
文件:图30 致幻作用下的视觉体验2.gif|图30：（图片来源于https://qualiacomputing.com/）