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文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
文件:图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)2.jpg|图13：以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
文件:图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)2.jpg|图13：以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)
</gallery>另一种常见的共形模型是上半平面模型（全称贝尔特拉米-庞加莱半平面，简称半平面模型），它是下部有边界而上部无限开放的半平面。在半平面模型中，自上而下的层级非常显著——类比树结构，半平面上部无穷远处对应着树的根节点，而下部边缘对应叶子节点。
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另一种常见的共形模型是上半平面模型（全称贝尔特拉米-庞加莱半平面，简称半平面模型），它是下部有边界而上部无限开放的半平面。在半平面模型中，自上而下的层级非常显著——类比树结构，半平面上部无穷远处对应着树的根节点，而下部边缘对应叶子节点。
文件:图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科).png|图14：上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科)
文件:图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科).png|图14：上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于维基百科)
文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
文件:图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络).jpg|图14：上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于网络)
</gallery>在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。<gallery widths="400" heights="400" mode="packed">
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在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。<gallery widths="350" heights="400" mode="packed">
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）2.gif|图15 半平面模型的平动（上）
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）2.gif|图15 半平面模型的平动（上）
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图15 半平面模型的转动（下)（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图15 半平面模型的转动（下)（图片来源于http://bulatov.org）
例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。
例如Bands模型，使用双曲函数将圆盘展开拉伸，变成一条带子。于是埃舍尔的鱼便可以游到带子上了。
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文件:图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http---bulatov.org）.gif|图17 从圆盘模型变换到Bands模型（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络).jpeg|图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络)
文件:图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络).jpeg|图18 圆极限Ⅲ的Bands模型版本(图片来源于网络)
有了黎曼映射定理的加持，共形模型还可以变换出星形、环形、螺旋形.…..这就是为什么数学家的信条是，发明（或证明）一个定理才是一件最实用的事！
有了黎曼映射定理的加持，共形模型还可以变换出星形、环形、螺旋形.…..这就是为什么数学家的信条是，发明（或证明）一个定理才是一件最实用的事！
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文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）1.jpg|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）1.jpg|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）2.jpg|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图19 共形模型的各种变换（图片来源于http---bulatov.org）2.jpg|图19：共形模型的各种变换（图片来源于http://bulatov.org）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）.png|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）.png|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）2.jpg|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
文件:图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）2.jpg|图27 双曲面与庞加莱圆盘（二）（图片来源于网络）
</gallery>从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。<gallery mode="packed" widths="400" heights="300">
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从坐标原点向双曲面投影，在顶点的切平面上将得到克莱因圆盘（注意圆盘上的测地线是直线）。
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文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）
文件:图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）2.png|图28 双曲面与克莱因圆盘（图片来源于网络）