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→因果几何
为了将信息几何推广到具有干预噪声和观测噪声的情况，需要引入一个新的维度为<math>l
为了将信息几何推广到具有干预噪声和观测噪声的情况，需要引入一个新的维度为<math>l
</math>的中间变量<math>\theta\subet\mathcal{R}^l
</math>的中间变量<math>\theta\subset\mathcal{R}^l
</math>，使得我们不能通过直接干预<math>\mathbf{x}
</math>，使得我们不能通过直接干预<math>\mathbf{x}
</math>。
</math>。
在这种情况下，可以获得两个流形：效应流形<math>\mathcal{M}_E=\{p(\mathbf{y}|\theta)\}_{\theta}
</math>$$，度量为<math>g_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{p(\mathbf{y}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln p(\mathbf{y}|\theta)
</math>；干预流形<math>\mathcal{M}_I=\{\Tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)\}_{\theta\in \Theta}
</math>，度量为<math>h_{\mu\nu}=-\mathbb{E}_{\Tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\ln \Tilde{q}(\mathbf{x}|\theta)
</math>。其中<math>\Tilde{q}\equiv \frac{q(\theta|\mathbf{x})}{\int q(\theta|\mathbf{x})d\mathbf{x}}
</math>，<math>$\partial_{\mu}=\partial/\partial \theta_{\mu}$
</math>。效应和干预两个流形合在一起称为因果几何。