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第43行： − 动力学的一致性检验可以进一步验证HOMs 方法的有效性，公式如下所示，比较宏微观网络节点在不同时刻的概率分布的KL散度之和。实验发现在不同节点规模以及参数下的偏好依附网络的粗粒化后的宏观网络的不一致性随着迭代步数的增加都会收敛到0。+
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[[因果涌现]]理论最初是由Erick Hoel等人<ref>Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref>提出，使用[[有效信息]]来量化离散马尔科夫动力学的因果性强弱。2020 年，Klein 等人<ref>Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>尝试将该方法应用到复杂网络中，然而为了量化复杂网络中的因果涌现，需要解决如下问题：定义网络节点动力学，定义有效信息，网络如何粗粒化、动力学一致性检验等问题。
[[因果涌现]]理论最初是由Erick Hoel等人<ref>Hoel E P, Albantakis L, Tononi G. Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2013, 110(49): 19790-19795.</ref>提出，使用[[有效信息]]来量化离散马尔科夫动力学的因果性强弱。2020 年，Klein 等人<ref>Klein B, Hoel E. The emergence of informative higher scales in complex networks[J]. Complexity, 2020, 20201-12.</ref>尝试将该方法应用到[[复杂网络]]中，然而为了量化复杂网络中的因果涌现，需要解决如下问题：定义网络节点动力学，定义有效信息，网络如何粗粒化、动力学一致性检验等问题。
==定义网络节点动力学==
==定义网络节点动力学==
# 输入一个网络<math>A_m</math>，得到其转移矩阵<math>T_{Am}</math>，然后进行矩阵的特征值分解，得到特征值<math>Λ=\{λ_i\}</math>与特征向量<math>E=\{e_i\}</math>，构建新的<math>E’=\{λ_ie_i|λ_i≠0\}</math>(新的网络节点数量为<math>N'</math>)
# 输入一个网络<math>A_m</math>，得到其转移矩阵<math>T_{Am}</math>，然后进行矩阵的特征值分解，得到特征值<math>Λ=\{λ_i\}</math>与特征向量<math>E=\{e_i\}</math>，构建新的<math>E’=\{λ_ie_i|λ_i≠0\}</math>(新的网络节点数量为<math>N'</math>)
# 依据<math>E'</math>计算节点间的距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>：
# 依据<math>E'</math>计算节点间的距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>：
## 如果节点<math>v_i</math>和<math>v_j</math>分别在对方的邻域中(马尔可夫毯)，则使用cosine计算两个节点的相似性作为距离
## 如果节点<math>v_i</math>和<math>v_j</math>分别在对方的邻域中(马尔可夫毯)，则使用[[cosine]]计算两个节点的相似性作为距离
## 否则将两个节点间的距离设为无穷大∞(1000)
## 否则将两个节点间的距离设为无穷大∞(1000)
# 基于距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>，使用OPTICS算法进行聚类，同一类里的节点进行粗粒化作为一个宏观节点，存在距离超参<math>\epsilon</math>，需要线性搜索，选择EI最大的参数
# 基于距离矩阵<math>D_{N'×N'}</math>，使用[[OPTICS]]算法进行聚类，同一类里的节点进行粗粒化作为一个宏观节点，存在距离超参<math>\epsilon</math>，需要线性搜索，选择EI最大的参数
时间复杂度：<math>O(N^3)</math>
时间复杂度：<math>O(N^3)</math>
==动力学一致性检验==
==动力学一致性检验==
动力学的一致性检验可以进一步验证[[HOMs]]方法的有效性，公式如下所示，比较宏微观网络节点在不同时刻的概率分布的KL散度之和。实验发现在不同节点规模以及参数下的偏好依附网络的粗粒化后的宏观网络的不一致性随着迭代步数的增加都会收敛到0。
<math>inconsistency=\sum_{t=0}^T D_{KL}[P_M(t)||P_{M|m}(t)]</math>
<math>inconsistency=\sum_{t=0}^T D_{KL}[P_M(t)||P_{M|m}(t)]</math>