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=Do形式及解释=

=Do形式及解释=

对于任意的马尔科夫链[math]\chi[/math]，它的状态状态空间为[math]\mathcal{S}[/math]，转移概率矩阵定义为[math]M[/math]，它在t时刻的状态变量为[math]X_t[/math], t+1时刻的状态变量为[math]X_{t+1}[/math]，则EI定义为：

考虑两个随机变量：[math]X[/math]和[math]Y[/math]，分别代表因变量（Cause Variable）和果变量（Effect Variable），并且假定它们的取值区间分别是[math]\mathcal{X}[/math]和[math]\mathcal{Y}[/math]。同时，我们需要说明[math]X[/math]如何影响[math]Y[/math]的，这通常可以用因果机制[math]f[/math]进行描述。所谓的因果机制是指在给定[math]X[/math]取值[math]x\in \mathcal{X}[/math]下，[math]Y[/math]在[math]\mathcal{Y}[/math]上任意取值[math]y\in \mathcal{Y}[/math]的条件概率：

 

<math>

<math>

EI\equiv I(\tilde{X}_{t+1};X_t|do(X_t\sim U(\mathcal{S})))

EI\equiv I(X:Y|do(X~U(\mathcal{X})), f)=I(\tilde{X}:\tilde{Y})

</math>

</math>

这里，[math]\tilde{X}_{t+1}[/math]代表经过对[math]X_t[/math]实施do干预，成为均匀分布的随机变量以后，经由动力学[math]M[/math]的传导作用而成为新的[math]t+1[/math]时刻的状态变量，且满足：

这里，[math]do(X~U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施do干预，使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，并且在这个干预中，始终保持因果机制[math]f[/math]不变。这样：

 

<math>

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P(\tilde{X}_{t+1}=j)=\sum_{i\in \mathcal{S}}P(X_{t}=i) M_{ij}=\frac{\sum_{i\in \mathcal{S}} M_{ij}}{N}.

P(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}P(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{i\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{#(\mathcal{X})}.

</math>

</math>

尽管在EI的这个定义中也包含了[[互信息]]度量，但是与传统[[信息论]]中的[[互信息]]不同，有效信息希望刻画出马尔科夫动力学的因果特性，而这一特性与数据度量在输入变量被设定为[[最大熵分布]]后，输入变量与受到影响的输出变量之间的关联程度。这实际上是对输入变量做了一个[[干预]]操作。[[Judea Pearl]]在2000年左右对因果的界定有详细的阐述。他提出了因果的三层阶梯，关联-[[干预]]-[[反事实]]。直接对观测数据估测[[互信息]]，便是在度量关联程度；而如果我们能对变量做[[干预]]操作，即设定变量为某个值或服从某个分布，便上升到了干预的层级；反事实则是设想如果某变量不是当前取值，那么其他变量会是什么样。阶梯层级越高，因果性就越强。

尽管在EI的这个定义中也包含了[[互信息]]度量，但是与传统[[信息论]]中的[[互信息]]不同，有效信息希望刻画出马尔科夫动力学的因果特性，而这一特性与数据度量在输入变量被设定为[[最大熵分布]]后，输入变量与受到影响的输出变量之间的关联程度。这实际上是对输入变量做了一个[[干预]]操作。[[Judea Pearl]]在2000年左右对因果的界定有详细的阐述。他提出了因果的三层阶梯，关联-[[干预]]-[[反事实]]。直接对观测数据估测[[互信息]]，便是在度量关联程度；而如果我们能对变量做[[干预]]操作，即设定变量为某个值或服从某个分布，便上升到了干预的层级；反事实则是设想如果某变量不是当前取值，那么其他变量会是什么样。阶梯层级越高，因果性就越强。