更改

<math>

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EI\equiv I(X:Y|do(X~U(\mathcal{X})), f)=I(\tilde{X}:\tilde{Y})

EI\equiv I(X:Y|do(X~U(\mathcal{X})))=I(\tilde{X}:\tilde{Y})

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这里，[math]do(X~U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施do干预，使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，并且在这个干预中，始终保持因果机制[math]f[/math]不变。这样：

这里，[math]do(X~U(\mathcal{X}))[/math]代表对[math]X[/math]实施do干预，使其服从[math]\mathcal{X}[/math]上的均匀分布。[math]\tilde{X}[/math]与[math]\tilde{Y}[/math]分别代表在经过[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]和[math]Y[/math]变量，并且在这个干预中，始终保持因果机制[math]f[/math]不变。这样：

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P(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}P(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{i\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.

P(\tilde{Y}=y)=\sum_{x\in \mathcal{X}}P(X=x) Pr(Y=y|X=x)=\sum_{i\in \mathcal{X}} \frac{Pr(Y=y|X=x)}{\#(\mathcal{X})}.

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因此，所谓机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是[math]\tilde{X}[/math]和[math]\tilde{Y}[/math]的互信息。这里[math]\tilde{X}[/math]代表被[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]变量，[math]\tilde{Y}[/math]则代表，在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，当[math]X[/math]被干预后，被间接改变分布的[math]Y[/math]变量。

因此，所谓机制[math]f[/math]的有效信息EI，就是[math]\tilde{X}[/math]和[math]\tilde{Y}[/math]的互信息。这里[math]\tilde{X}[/math]代表被[math]do[/math]干预后的[math]X[/math]变量，[math]\tilde{Y}[/math]则代表，在保持因果机制[math]f[/math]不变的情况下，当[math]X[/math]被干预后，被间接改变分布的[math]Y[/math]变量。