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→EI关于p的导数
其实，无论如何定义这两项，关键在于理解它们的物理含义。确定性指的是，已知当前时刻状态概率分布，对未来可能状态的判断有多大的把握；而简并性指的是，已知当前的状态，追溯历史，我们能有多大确定性做出判断。如果有状态在动力学过程中发生简并，我们回溯历史时能运用的信息就会变少。当一个系统背后的动力学确定性高，同时简并性低时，说明这是一个具有明显因果效应的动力学。这就是EI本身的物理含义。
其实，无论如何定义这两项，关键在于理解它们的物理含义。确定性指的是，已知当前时刻状态概率分布，对未来可能状态的判断有多大的把握；而简并性指的是，已知当前的状态，追溯历史，我们能有多大确定性做出判断。如果有状态在动力学过程中发生简并，我们回溯历史时能运用的信息就会变少。当一个系统背后的动力学确定性高，同时简并性低时，说明这是一个具有明显因果效应的动力学。这就是EI本身的物理含义。
==EI关于p的导数==
==EI的函数性质==
===一阶导数===
===一阶导数及最小值===
由公式{{EquationRef|2}}可以看出，在概率转移矩阵TPM上，EI是关于矩阵中每一个元素（从某一状态到另一状态的条件概率）的函数，于是我们自然会问：这样一个函数具有哪些数学性质？不难看出，该函数是光滑可导，我们可以解析地写出它的一阶导数如下所示，
由公式{{EquationRef|2}}可以看出，在概率转移矩阵TPM上，EI是关于矩阵中每一个元素（从某一状态到另一状态的条件概率）的函数，于是我们自然会问：这样一个函数具有哪些数学性质？不难看出，该函数是光滑可导，我们可以解析地写出它的一阶导数如下所示，
</math>
</math>
其中，<math>p_{ij}</math>表示TPM中第i行第j列的条件概率，<math>p_{iN}</math>表示第i行第N列的条件概率，<math>\bar{p}_{\cdot j}, \bar{p}_{\cdot N}</math>则分别表示第j列和第N列条件概率的均值。
其中，<math>p_{ij}</math>表示TPM中第i行第j列的条件概率，<math>p_{iN}</math>表示第i行第N列的条件概率，<math>\bar{p}_{\cdot j}, \bar{p}_{\cdot N}</math>则分别表示第j列和第N列条件概率的均值。令该式等于0，可以求得极值点：即对于任意的<math>1\leq i,j\leq N</math>，都有下式的成立，
<math>
\begin{equation}
p_{ij}=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^Np_{kj}
\end{equation}
</math>
不难计算出，此时<math>EI_{min}=0</math>，即EI达到了最小值。换个角度来看这个公式，这意味着EI的最小值点有很多个，只要TPM所有行向量完全一致，无论该行向量本身是怎样的分布，EI都会等于0.
===二阶导数===
===二阶导数===
进一步地，我们可以求出EI这个函数的二阶导数
<math>
\begin{equation}
\frac{\partial^2 EI}{\partial p_{ij}\partial p_{st}}=\frac{1}{N}\cdot\left(\frac{\delta_{i,s}\delta_{j,t}}{p_{ij}}+\frac{\delta_{i,s}}{p_{iN}}-\frac{\delta_{j,t}}{N\cdot\Bar{p}_{\cdot j}}-\frac{1}{N\cdot \Bar{p}_{\cdot N}}\right),
\end{equation}
</math>
===最大值===
==EI的最大值和最小值==
==EI的最大值和最小值==
===最大值===
===最大值===