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→一阶导数及极值点
==EI的函数性质==
==EI的函数性质==
===一阶导数及极值点===
===一阶导数及极值点===
由公式{{EquationRef|2}}可以看出，在概率转移矩阵TPM上，EI是关于矩阵中每一个元素（从某一状态到另一状态的条件概率）的函数，于是我们自然会问：这样一个函数具有哪些数学性质？不难看出，该函数是光滑可导，我们可以解析地写出它的一阶导数如下所示，
由公式{{EquationRef|2}}可以看出，在概率转移矩阵P上，EI是关于矩阵中每一个元素（从某一状态到另一状态的条件概率）的函数，于是我们自然会问：这样一个函数具有哪些数学性质？如它有没有极值点？极值点在哪里？
不失一般性，我们不妨假设对于选定的[math]i,j\in[1,N][/math]，[math]p_{ij},p_{iN},\bar{p}_{\cdot j}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kj}}{N},\bar{p}_{\cdot N}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kN}}{N}[/math]都是大于0的，则EI在[math]p_{ij}[/math]附近是可导的，对公式{{EquationRef|2}}求[math]p_{ij}[/math]的一阶导数，并注意到归一化条件[math]\sum_{j=1}^Np_{ij}=1[/math]，则就可以得到：
<math>
<math>
</math>
</math>
其中，<math>p_{ij}</math>表示TPM中第i行第j列的条件概率，因为TPM每一行有归一化约束条件，所以EI函数本身有<math>N(N-1)</math>个自由变元，我们可以取<math>1\leq i\leq N, 1\leq j\leq N-1</math>。<math>p_{iN}</math>表示第i行第N列的条件概率，<math>\bar{p}_{\cdot j}, \bar{p}_{\cdot N}</math>则分别表示第j列和第N列条件概率的均值。令该式等于0，可以求得极值点：即对于任意的<math>1\leq i\leq N, 1\leq j\leq N-1</math>，都有下式的成立，
其中，<math>p_{ij}</math>表示O中第i行第j列的条件概率，因为P每一行有归一化约束条件，所以EI函数本身有<math>N(N-1)</math>个自由变元，我们可以取<math>1\leq i\leq N, 1\leq j\leq N-1</math>。<math>p_{iN}</math>表示第i行第N列的条件概率，<math>\bar{p}_{\cdot j}, \bar{p}_{\cdot N}</math>则分别表示第j列和第N列条件概率的均值。令该式等于0，可以求得极值点：即对于任意的<math>1\leq i\leq N, 1\leq j\leq N-1</math>，都有下式的成立，
<math>
<math>
</math>
</math>
不难计算出，此时<math>EI_{min}=0</math>，即EI达到了极小值。换个角度来看这个公式，这意味着EI的极小值点有很多个，只要转移概率矩阵所有行向量完全一致，无论该行向量本身是怎样的分布，EI都会等于0.
不难计算出，此时<math>EI=0</math>，即EI达到了极小值。换个角度来看这个公式，这意味着EI的极小值点有很多个，只要转移概率矩阵所有行向量完全一致，无论该行向量本身是怎样的分布，EI都会等于0。如果[math]p_{ij},p_{iN},\bar{p}_{\cdot j}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kj}}{N},\bar{p}_{\cdot N}\equiv \frac{\sum_{k=1}^Np_{kN}}{N}[/math]中存在着0，那么EI在此处不可导。
===二阶导数与凸性===
===二阶导数与凸性===