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→EI的函数性质
==EI的函数性质==
==EI的函数性质==
由公式{{EquationNote|2}}可以看出，在概率转移矩阵P上，EI是关于矩阵中每一个元素（从某一状态到另一状态的条件概率）的函数，于是我们自然会问：这样一个函数具有哪些数学性质？如它有没有极值点？极值点在哪里？凸性如何？最大值和最小值又是多少？
由公式{{EquationNote|2}}可以看出，在概率转移矩阵P上，EI是关于矩阵中每一个元素（从某一状态到另一状态的条件概率）的函数，于是我们自然会问：这样一个函数具有哪些数学性质？如它有没有极值点？极值点在哪里？凸性如何？最大值和最小值又是多少？
===定义域===
在离散状态和离散时间的马尔科夫链上，EI的定义域显然是概率转移矩阵P。P是一个由[math]N\times N[/math]个元素构成的矩阵，其中每一个元素[math]p_{ij}\in[0,1][/math]代表一个概率值，同时对于任意的行，这组概率值需要满足归一化条件，也就是对于任意的[math]\forall i\in[1,N][/math]:
{{NumBlk|:|
<math>
||P_i||_1=\sum_{j=1}^N p_{ij}=1
</math>
|{{EquationRef|3}}}}
因此EI的定义域，也就是P的可能空间并不是全部[math]N\times N[/math]维的实数空间[math]\mathcal{R}^{N^2}[/math]，由于归一化条件{{EquationNote|3}}的存在，使得该定义域成为一个[math]N\times N[/math]维实数空间中的一个子空间。如何表达这个子空间呢？
首先，对于任意一个行向量[math]P_i[/math]来说，它的取值范围空间为N维实数空间中的一个超正多面体。例如，当[math]N=2[/math]的时候，该空间为一条直线：[math]p_{i,1}+p_{i,2}=1, \forall i\in\{1,2\}[/math]。当[math]N=3[/math]的时候，该空间为一张三维空间中的平面：[math]p_{i,1}+p_{i,2}+p_{i,3}=1, \forall i\in\{1,2,3\}[/math]。这两个空间如下图所示：
在一般情况，我们将N维空间下的行向量[math]P_i[/math]的取值范围空间定义为[math]\Delta=\{p_j|\sum_{j=1}^Np_j=1,p_j\in[0,1]\}[/math]，则N个这样的空间的笛卡尔积即为EI的定义域：
<math>
Dom(EI)=\Delta\times \Delta\cdots\times\Delta=\Delta^N
</math>
===一阶导数及极值点===
===一阶导数及极值点===
EI_{max}=\log N
EI_{max}=\log N
</math>
</math>
==最简马尔科夫链下的解析解==
==最简马尔科夫链下的解析解==