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第1行： − 在对复杂系统进行粗颗粒化后，其宏观状态的动力学可能比其微观状态的动力学表现出更明显的因果效应。这种现象被称为因果涌现，该指标通过有效信息指标来量化，若出现宏观有效信息大于微观有效信息，则意味着因果涌现的产生。然而，这一理论面临两个挑战：连续随机动力系统缺乏完善的框架，以及对粗粒度方法的依赖。+ + + − 现实中诸多复杂系统的动力学模型都可以转化成迭代系统来表达系统的演化，比如粒子的随机游走、导热体热量的耗散以及空间中的旋转模型，虽然时间是离散的，但是其分布状态空间属于连续空间，整个迭代系统自身的因果效应也需要相关的指标来针对性的进行量化。+ − − 为了解决以上问题，我们需要引入一个精确的理论框架，用于研究具有连续状态空间和高斯噪声的线性随机迭代系统中的因果涌现。在此基础上，我们推导了一般动力学中有效信息的解析表达式，并确定了最佳线性粗粒化策略，当粗粒化消除的维度平均不确定性有上限时，该策略可最大限度地提高因果涌现的程度。
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随机迭代系统的因果涌现指的是针对形如<math>
x_{t+1}=f(x_t)+\varepsilon_t, f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma),{\rm rk}(\Sigma)=n
</math>的动力系统，在降维粗粒化之后，展现出的系统在宏观尺度因果特性强于微观尺度的程度的度量。在对复杂系统进行粗颗粒化后，其宏观状态的动力学可能比其微观状态的动力学表现出更明显的因果效应。这种现象被称为因果涌现，该指标通过有效信息指标来量化，若出现宏观有效信息大于微观有效信息，则意味着因果涌现的产生。这一理论一定程度上解决了Erik Hoel提出了因果出现理论面临的两个挑战：连续随机动力系统缺乏完善的框架，以及对粗粒度方法的依赖。
现实中诸多复杂系统的动力学模型都可以转化成迭代系统来表达系统的演化，比如粒子的随机游走、导热体热量的耗散以及空间中的旋转模型，虽然时间是离散的，但是其分布状态空间属于连续空间，而不是马尔科夫链或者复杂网络一样可以将状态确定在有限的状态点位上，整个迭代系统自身的因果效应也需要相关的指标来针对性的进行量化。为了解决以上问题，随机迭代系统的因果涌现作为一个精确的理论框架，可被应用于研究具有连续状态空间和高斯噪声的线性随机迭代系统中的因果涌现。该框架不仅可以给出线性线性随机迭代系统有效信息和因果涌现的解析表达式，还可以确定最佳线性粗粒化策略，当粗粒化消除的维度平均不确定性有上限时，该策略可最大限度地提高因果涌现的程度。解析表达式本身可以拓展到一般动力学的空间上，但是其因果涌现的大小和最优粗粒化策略会受到时间和迭代函数本身的影响。
== 历史渊源 ==
== 历史渊源 ==