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第59行： − + − 为了克服先前研究中发现的局限性，随机迭代系统 − − <math> − x_{t+1}=Ax_t+\varepsilon_t, A\in\mathcal{R}^{n\times n}, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma), {\rm rk}(A)={\rm rk}(\Sigma)=n − </math> − − 通过粗粒化策略 − − <math> − y_t=Wx_t, W\in R^{k\times n},k<n − </math> − − 得到宏观动力学 − − <math> − y_{t+1}=A_M y_t+\varepsilon_{M,t}, A_M=WAW^\dagger\in \mathcal{R}^{k\times k}, \varepsilon_{M,t}\sim \mathcal{N}(0,\Sigma_M), \Sigma_M=W\Sigma W^{T} − </math> − − 后的因果涌现 − − <math> − \Delta\mathcal{J}=\mathop{\ln\frac{|\det(\Sigma)|^\frac{1}{2n}}{|\det(W\Sigma W^{T})|^\frac{1}{2k}}}_{Determinism Emergence}-\mathop{\ln\frac{|\det(A)|^\frac{1}{n}}{|\det(WAW^\dagger)|^\frac{1}{k}}}_{Degeneracy Emergence} − </math> − − 及其相关研究一定程度上可以解决上述问题。 − 第136行：
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→线性随机迭代系统
由于一般情况下有效信息与因果涌现受映射<math>f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n</math>影响较大，而映射自身会受状态本身以及其所处时间影响，故很多性质我们很难直接研究。但如果是线性随机迭代系统，映射函数及其导函数相对固定，我们就可以从中挖掘更多的信息。
由于一般情况下有效信息与因果涌现受映射<math>f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n</math>影响较大，而映射自身会受状态本身以及其所处时间影响，故很多性质我们很难直接研究。但如果是线性随机迭代系统，映射函数及其导函数相对固定，我们就可以从中挖掘更多的信息。
== 线性随机迭代系统 ==
== 线性随机迭代系统的因果涌现 ==
=== 微观和宏观动力学的有效信息 ===
=== 微观和宏观动力学的有效信息 ===
随机迭代系统的因果涌现由宏观态的有效信息<math>
随机迭代系统的因果涌现由宏观态的有效信息<math>
宏观有效信息与微观有效信息做差之后就可以得到随即迭代系统的因果涌现。而微观、宏观的确定性和简并性分别做差就可以得到确定性、简并性涌现。
宏观有效信息与微观有效信息做差之后就可以得到随即迭代系统的因果涌现。而微观、宏观的确定性和简并性分别做差就可以得到确定性、简并性涌现。
=== 因果涌现 ===
为了克服先前研究中发现的局限性，随机迭代系统
<math>
x_{t+1}=Ax_t+\varepsilon_t, A\in\mathcal{R}^{n\times n}, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma), {\rm rk}(A)={\rm rk}(\Sigma)=n
</math>
通过粗粒化策略
<math>
y_t=Wx_t, W\in R^{k\times n},k<n
</math>
得到宏观动力学
<math>
y_{t+1}=A_M y_t+\varepsilon_{M,t}, A_M=WAW^\dagger\in \mathcal{R}^{k\times k}, \varepsilon_{M,t}\sim \mathcal{N}(0,\Sigma_M), \Sigma_M=W\Sigma W^{T}
</math>
后的因果涌现
<math>
\Delta\mathcal{J}=\mathop{\ln\frac{|\det(\Sigma)|^\frac{1}{2n}}{|\det(W\Sigma W^{T})|^\frac{1}{2k}}}_{Determinism Emergence}-\mathop{\ln\frac{|\det(A)|^\frac{1}{n}}{|\det(WAW^\dagger)|^\frac{1}{k}}}_{Degeneracy Emergence}
</math>
及其相关研究一定程度上可以解决上述问题。
=== 确定性和简并性 ===
=== 确定性和简并性 ===