1,255
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第15行：
第15行： − 如果通过合适的粗粒化策略使得系统在宏观尺度能够展现出比它在微观尺度上具有更强的因果特性的时候，这就发生了因果涌现。其中系统因果关系的强度揭示其未来状态受当前状态影响的程度。值得注意的是，目前研究因果涌现都是建立在马尔可夫动力学系统上，同时也需要使用粗粒化函数。下面我们分别介绍状态空间和变量空间下的马尔可夫动力学和粗粒化函数。+ 第21行：
第21行： − 马尔可夫动力学是指系统的下一时刻状态只依赖于系统上一时刻的状态，并且与再之前的状态无关。马尔可夫动力学可以具体分为离散时间、连续时间，离散状态、连续状态，以及它们的组合等多种形式。例如，表中概率转移矩阵就定义了一个离散时间、离散状态上的马尔可夫动力学<math>P(S_{t+1}|S_{t})</math>，<math>S_t</math>和<math>S_{t+1}</math>分别表示<math>t</math>时刻和<math>t+1</math>时刻的状态：+ 第57行：
第57行： − + − − 态从第i个状态转移到第j个状态的概率。我们也可以等价地用状态转移图来表示。 − 粗粒化是一种通过将系统组件分组为更大、变化更慢的单元来简化系统描述的过程，它通常用于确定系统的基本特征，这些特征决定了系统的宏观行为，而不受微观尺度相互作用等细节的影响。对于复杂系统来说，粗粒化一般包含了节点（单元）的合并，以及宏观状态的计算两个步骤。粗粒化策略可以将一组微观状态映射到一个特定的宏观状态。此外，人们往往会混用粗粒化与重整化<ref>K. G. Wilson, J. Kogut, The renormalization group and the expansion, Physics reports 12 (2) (1974) 75–199.</ref><ref>J. C. Collins, Renormalization, Cambridge university press, 2023.</ref>，确实两者存在很多共同之处，如两者都是对系统进行更加宏观尺度的描述。但是两者也存在区别，粗粒化一般都是对系统的状态进行操作，而重整化一般针对的是系统动力学、配分函数或者规则。粗粒化在不同领域有着不同的表述：下采样、池化等。+
→基本概念
==基本概念==
==基本概念==
如果通过合适的粗粒化策略使得系统在宏观尺度能够展现出比它在微观尺度上具有更强的因果特性的时候，这就发生了因果涌现。其中系统因果关系的强度揭示其未来状态受当前状态影响的程度。值得注意的是，目前研究因果涌现都是建立在马尔可夫动力学系统上，同时也需要使用粗粒化函数。马尔可夫动力学是指系统的下一时刻状态只依赖于系统上一时刻的状态，并且与再之前的状态无关。马尔可夫动力学可以具体分为离散时间、连续时间，离散状态、连续状态，以及它们的组合等多种形式。粗粒化是一种通过将系统组件分组为更大、变化更慢的单元来简化系统描述的过程，它通常用于确定系统的基本特征，这些特征决定了系统的宏观行为，而不受微观尺度相互作用等细节的影响。对于复杂系统来说，粗粒化一般包含了节点（单元）的合并，以及宏观状态的计算两个步骤。粗粒化策略可以将一组微观状态映射到一个特定的宏观状态。此外，人们往往会混用粗粒化与重整化<ref>K. G. Wilson, J. Kogut, The renormalization group and the expansion, Physics reports 12 (2) (1974) 75–199.</ref><ref>J. C. Collins, Renormalization, Cambridge university press, 2023.</ref>，确实两者存在很多共同之处，如两者都是对系统进行更加宏观尺度的描述。但是两者也存在区别，粗粒化一般都是对系统的状态进行操作，而重整化一般针对的是系统动力学、配分函数或者规则。粗粒化在不同领域有着不同的表述：下采样、池化等。下面我们分别介绍状态空间和变量空间下的马尔可夫动力学和粗粒化函数。
====马尔可夫动力学（状态转移矩阵）====
====马尔可夫动力学（状态转移矩阵）====
表中概率转移矩阵就定义了一个离散时间、离散状态上的马尔可夫动力学<math>P(S_{t+1}|S_{t})</math>，<math>S_t</math>和<math>S_{t+1}</math>分别表示<math>t</math>时刻和<math>t+1</math>时刻的状态：
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
|}
|}
这是一个离散时间离散状态(<math>S=\{a,b,c,d\}</math>)的马尔可夫动力学中的状态概率转移矩阵，其中每一行、列都对应一个状态，第i行第j列表示状
这是一个离散时间离散状态(<math>S=\{a,b,c,d\}</math>)的马尔可夫动力学中的状态概率转移矩阵，其中每一行、列都对应一个状态，第i行第j列表示状态从第i个状态转移到第j个状态的概率。我们也可以等价地用状态转移图来表示。
[[文件:马尔科夫状态转移图.png|居中|缩略图|马尔可夫状态转移图]]
[[文件:马尔科夫状态转移图.png|居中|缩略图|马尔可夫状态转移图]]
目前对因果涌现的讨论大多集中于这种离散时间、离散状态的马尔可夫动力学。
目前对因果涌现的讨论大多集中于这种离散时间、离散状态的马尔可夫动力学。
====状态空间的粗粒化====
====状态空间的粗粒化====
状态空间的粗粒化表示对原始的状态转移矩阵进行分组合并成一些宏观的状态，然后定义宏观状态转移矩阵，下表是对上表的状态转移矩阵进行粗粒化后的宏观状态转移矩阵，将前三个状态粗粒化成一个宏观状态，从而构成了一个确定的转移关系。
{| class="wikitable"
{| class="wikitable"