讨论:因果涌现
建议
- 因果涌现不一定限定在动力系统上，对于任何因果机制都应该可能存在着因果涌现现象
- 缺少一个对CE定义的公式
张老师应该在不同的模块写上对应的参考资料，让大家来共同整理
[math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}'or {\overleftarrow{S}} }[/math]
<-'
s 符号含义
早期相关工作->计算力学，这部分，[math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' }[/math]（表示[math]\displaystyle{ \overleftarrow{s} }[/math]的子集）[math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' }[/math]的含义，在Computational Mechanics文献中，[math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' }[/math]除了出现在因果态定义里，还出现在因果状态转换里，里面有“where by [math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' }[/math] we mean the history that is the immediate successor to [math]\displaystyle{ \overleftarrow{s} }[/math]; for consistency, [math]\displaystyle{ {\overleftarrow{s}}' = \overleftarrow{s}s }[/math].”
因此，作者的意思'可能表示S的子集（大写的s，即S）。
下图展示了一个线性动力系统的例子，其动力学是一个向量自回归的模型，实验结果如下所示，图a是使用遗传算法对不同的初始条件进行迭代进化的结果，纵轴表示动力学解耦的程度，横坐标代表迭代步数。从图中，我们可以看出：随着迭代的增加，动力学解耦程度也逐渐增加，图b表示不同的粗粒化尺度会影响优化到动力学解耦的程度，每个尺度下我们使用不同的初始化进行多次实验，结果按照升序排列，实验发现只有scale=2和6时可能达到动力学解耦，因此尺度的选择也很重要。
下面展示一个具体的马尔科夫链的例子，其中系统的微观存在3个状态，转移矩阵如下图：
其中，左侧的粗粒化矩阵A是
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
它是一个恒等变换，而右侧的粗粒化矩阵A为：
[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
即将1、2两个状态分为一组，3状态单独一组。从图中，我们会发现该马尔科夫矩阵不满足公式3的可交换性条件。
下图所示八状态马尔可夫链，我们绘制了一条选定的"微观[math]\displaystyle{ \to }[/math]宏观"路径。该路径的演进过程通过颜色渲染方式在下图中呈现。初始状态为(0),(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7)的微观尺度下，沿着粗粒化路径逐步将微观状态合并：在每一粗粒化步骤中，被归并的微观状态会同步为相同颜色，直至路径终点(0),(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)——此时除(0)之外的所有微观状态均已完成粗粒化合并。
我们以一个8状态马尔可夫链为例演示[math]\displaystyle{ \Delta CP }[/math]沿路径的计算过程，其初始微观尺度转移概率矩阵（TPM）如图下图A所示。该系统存在一个直观的宏观态表现形式：微观状态(4,5,6,7)构成等价类，这些状态具有完全相同的转移概率分布。该系统的连接结构（状态转移关系）与图1所示相同，并采用了相同的微观[math]\displaystyle{ \to }[/math]宏观路径选择方案。 值得注意的是，在该系统中，因果涌现（CP）持续产生增益，直至直观的宏观尺度——即微观状态(4, 5, 6, 7)被粗粒化为带自循环的单一宏观态（该尺度的转移概率矩阵如图B所示，可视化呈现于图C）。此后路径立即进入零增益区域（如图D所示）。从确定性加特异性的角度表述：微观尺度的因果涌现值初始为CP=0.66，在进入零增益区域前的宏观尺度上，该值提升了0.33，达到最大值CP=1——这表明在该宏观尺度上，因果关系具有完全确定性和非退化性，任何进一步的粗粒化都不会带来额外增益。因此该系统的因果涌现度为CE=0.33，反映了沿路径获得的总增益量。
