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====基于可逆性的因果涌现理论====
 
====基于可逆性的因果涌现理论====
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<math>
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\Gamma_{\alpha}\equiv \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}=|P|_{\alpha}^{\alpha}
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这里,[math]|P|_{\alpha}[/math]为矩阵P的[[Schatten范数]],[math]\Gamma_{\alpha}[/math]为[[近似动力学可逆性]]指标,[math]\sigma_i[/math]为概率转移矩阵P的奇异值,并且按照从大到小的顺序排列,[math]\alpha\in(0,2)[/math]为一个指定的参数,它起到让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够更多地反映'''确定性'''还是'''简并性'''这样一种权重或倾向性。事实上,不难看出,如果让[math]\alpha\rightarrow 0[/math],则[math]\Gamma_{\alpha}[/math]就退化成了矩阵P的秩,即:
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<math>
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rank(P)=\sum_{i=1}^N\sigma_i^{0}
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</math>
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而[[矩阵的秩]]衡量的是矩阵P非退化(也就是可逆)的程度,与Degeneracy有着类似的效果。
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而当[math]\alpha\rightarrow 2[/math],则[math]\Gamma_{\alpha}[/math]就退化成了矩阵P的[[Frobinius范数]]的平方,即:
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<math>
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||P||_F^2=\sum_{i=1}^N\sigma_i^{2}
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</math>
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这一指标衡量的是矩阵P的确定性的程度,这是因为只有当矩阵P中的所有行向量都是[[独热向量]](one-hot)的时候,[math]||P||_F[/math]才会最大,因此它与Determinism有着类似的衡量效果。
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所以,当[math]\alpha\in(0,2)[/math]连续变化的时候,[math]\Gamma_{\alpha}[/math]就可以在简并性与确定性二者之间切换了。通常情况下,我们取[math]\alpha=1[/math],这可以让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够在确定性与简并性之间达到一种平衡。
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在文献<ref name=zhang_reversibility/>中,作者们证明了EI与动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系:
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EI\sim \log\Gamma_{\alpha}
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</math>
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====其他(Dynamic independence等)====
 
====其他(Dynamic independence等)====
  
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