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====基于可逆性的因果涌现理论====

====基于可逆性的因果涌现理论====

张江等人基于奇异值分解，提出了一套新的因果涌现理论。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵<math>P</math>，可以对它进行奇异值分解，得到两个正交且的归一化矩阵<math>U</math>和<math>V</math>,和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>

张江等人基于奇异值分解，提出了一套新的因果涌现理论。给定一个系统的马尔科夫转移矩阵<math>P</math>，通过对它进行奇异值分解，得到两个正交且的归一化矩阵<math>U</math>和<math>V</math>,和一个对角阵<math>\Sigma</math>：<math>P= U\Sigma V^T</math>

 

我们可以将奇异值的<math>\alpha</math>次方的和定义为马尔科夫动力学的可逆性度量，即：

<math>

 

 

这里，[math]|P|_{\alpha}[/math]为矩阵P的[[Schatten范数]]，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]为[[近似动力学可逆性]]指标，[math]\sigma_i[/math]为概率转移矩阵P的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，[math]\alpha\in(0,2)[/math]为一个指定的参数，它起到让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够更多地反映'''确定性'''还是'''简并性'''这样一种权重或倾向性。事实上，不难看出，如果让[math]\alpha\rightarrow 0[/math]，则[math]\Gamma_{\alpha}[/math]就退化成了矩阵P的秩，即：

 

</math>

 

 

 

<math>

<math>

||P||_F^2=\sum_{i=1}^N\sigma_i^{2}

\Gamma_{\alpha}= \sum_{i=1}^N\sigma_i^{\alpha}

</math>

</math>

所以，当[math]\alpha\in(0,2)[/math]连续变化的时候，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]就可以在简并性与确定性二者之间切换了。通常情况下，我们取[math]\alpha=1[/math]，这可以让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够在确定性与简并性之间达到一种平衡。

这里，[math]\Gamma_{\alpha}[/math]为[[近似动力学可逆性]]指标，[math]\sigma_i[/math]为概率转移矩阵P的奇异值，并且按照从大到小的顺序排列，[math]\alpha\in(0,2)[/math]为一个指定的参数，它起到让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够更多地反映'''确定性'''还是'''简并性'''这样一种权重或倾向性。通常情况下，我们取[math]\alpha=1[/math]，这可以让[math]\Gamma_{\alpha}[/math]能够在确定性与简并性之间达到一种平衡。

在文献<ref name=zhang_reversibility/>中，作者们证明了EI与动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：

此外，文献中作者证明了EI与动力学可逆性[math]\Gamma_{\alpha}[/math]之间存在着一种近似的关系：

<math>

<math>