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第1行： − − 圣塔菲研究所 研究论文 99-07-044 − − 关键字：复杂性，计算，熵，信息，斑图，统计力学 页眉：计算力学 − 第911行：
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翻译到附录D时间反演部分
'''计算力学（Computational Mechanics）'''是一种方法，用来结构化复杂性，定义一个过程的因果态，并给出一个找出它们的步骤。我们揭示了因果态的表征-一个ϵ机制-拥有最小复杂度的同时又能拥有最准确的预测能力。我们在ϵ机制最优化和唯一性上，以及如何将ϵ机制同其他表征相比较上，获得了一些成果。更多结果和测量随机性和结构复杂度有关联，这些关联是从ϵ机制到一些遍历及信息理论获得的。
'''计算力学（Computational Mechanics）'''是一种方法，用来结构化复杂性，定义一个过程的因果态，并给出一个找出它们的步骤。我们揭示了因果态的表征-一个ϵ机制-拥有最小复杂度的同时又能拥有最准确的预测能力。我们在ϵ机制最优化和唯一性上，以及如何将ϵ机制同其他表征相比较上，获得了一些成果。更多结果和测量随机性和结构复杂度有关联，这些关联是从ϵ机制到一些遍历及信息理论获得的。
== 简介 ==
== 简介 ==
等式（A1）和（A6）被称作熵的链式法则。严格来说，等式（A12）右手边应该读作“对每个<math>y, P(X = x \vert Y = y) > 0</math>对一个，仅一个x”。
等式（A1）和（A6）被称作熵的链式法则。严格来说，等式（A12）右手边应该读作“对每个<math>y, P(X = x \vert Y = y) > 0</math>对一个，仅一个x”。
=== 导出因果态的等价关系 ===
任何反身的，对称的，和转换关系是等价关系。
考虑所有过去序列，任意长度集合<math>\overset{\leftarrow}{\mathbf{S}}</math>：
<math>
\overset{\leftarrow}{\mathbf{S}} = \overset{\leftarrow L}{s}=s_{L-1} \dots s_{-1}:s_i \in \mathcal{A}, L \in \mathbb{Z}^+ \}. \tag{B1}
</math>
回忆下s<-0 = λ，空字符串。我们由下式定义S<-之上的关系~ϵ
si<-K ~ϵ sj<-L <-> P(S->|si<-K) = P(S->|s<-Lj),（B2）
对所有准无限S->=s0s1s2..., 其中K, L ∈Z+。
这里我们由回顾关系的基本属性，等价类，和划分来展示~ϵ是一个等价关系。（证明的细节是直观的并未包括在这里。查看参考文献【87】。）我们将丢弃长度变量K和L并由s<-,s<-',s<-''∈S<-表征，是等式（B1）的集合S<-任意长度的成员。
首先，~ϵ是在S<-上的关系，自从我们可以将它表示成笛卡儿积的子集
S<- x S<- = {(s<-, s<-')}:s<-,s<-'∈S<-}. (B3)
其次，关系~ϵ在S<-上是等价关系自从它是
1.自反的：s<-~ϵs<-，对于所有s<-∈S<-；
2.对称的：s<-~ϵs<-' =>s<-'~ϵs<-；并且
3.传递的：s<-~ϵs<-' 且s<-'~ϵs<-'' =>s<-~ϵs<-''。
再次，如果s<-∈S<-，s<-的等价类是
[s<-] = {s<-'∈S<-:s<-'~ϵs<-}。（B4）
在S<-中的所有等价类集合表示成S<-/~ϵ并称作S<-对于~ϵ的因子组。在第Ⅳ节A部分我们称单独的等价类为因果态Si并表征因果态的集合为S = {Si : i = 0,1,...,k - 1}。也就是，S = S<-/~ϵ。（我们提到在主要开发中因果态基数k=|S|或者不是有限的。）
最后，我们列出因果态等价类的若干基本属性。
1.⋃s<-∈S<-[s<-] = S<-.
2.⋃i=0k-1Si = S<-.
3.[s<-] = [s<-'] <=> s<-~ϵs<-'.
4.如果s<-,s<-'∈S<-，则
（a) [s<-]⋂[s<-'] = ∅或
（b）[s<-] = [s<-'].
5. 因果态S是S<-的一个划分。也就是，
（a）Si != ∅对每一个i，
（b）⋃i=0 k-1 Si = S<-，并且
（c）Si⋂Sj = ∅对所有的i != j。
我们用S0表征开始状态。开始状态是关联到s<- = λ。也就是说，S0 = [λ]。
=== 时间反演 ===
由正向扫描序列观测到的因果态的定义和属性，例如，因果态S->/~ϵ，遵从类似附录B的继承。更一般地，S<-/~ϵ != S->/~ϵ。也就是，过去的因果态是不必须和将来因果态相同；过去和将来变体可以不同；不象熵速率【15】，过去和将来统计复杂度必须不相等：Cμ<-!=Cμ->；凡此种种。出现或缺失这种时间反演对称类型，如这些不等式反映的，是一个过程的基本属性。