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完成附录E9公式的整理
一个半群是在关系二值操作下封闭的一系统元素，但不保证每一个，或者确保任意，元素有逆元【88】。一个半群和幺半群是群的一般化。就象群的代数结构是作为对称性的一般性表达，我们提出将半群的代数结构表示成对称性的一般化。在幺半群和其他半群之间的区别在这里变得很重要：只有有单位元的半群——比如，幺半群——可以包含子集是群并且表现为常规的对称性。
一个半群是在关系二值操作下封闭的一系统元素，但不保证每一个，或者确保任意，元素有逆元【88】。一个半群和幺半群是群的一般化。就象群的代数结构是作为对称性的一般性表达，我们提出将半群的代数结构表示成对称性的一般化。在幺半群和其他半群之间的区别在这里变得很重要：只有有单位元的半群——比如，幺半群——可以包含子集是群并且表现为常规的对称性。
我们申明转换连接A中的符号字符串到其他字符串构成一个半群G，生成元是转换连接A中的单元。单位元由连接空符号λ所提供。字符串t的连接成字符串s是禁止的，当且仅当形成st的字符串在一个过程中有概率为零。所有这样的连接是由单个半群元素实现成∅。自从如果<math>P(st) = 0</math>，那么<math>P(stu) = P(ust) = 0</math>对于任何字符串u，我们要求<math>\empty g = g \empty = \empty</math>对于所有的<math>g \in G</math>。我们可以提供一个这个半群的表征吗？
从我们对标识好的转换概率，<math>T_{ij}^{(λ)} = δ_{ij}</math>开始回想。可得出，<math>\mathbf{T}^{(λ)}</math>是一个单位元。这就说明使用标记好的转换矩阵来构成半群的矩阵表征。相对应地，首先定义<math>U_{ij}^{(s)} = 0</math>当<math>T_{ij}^{(s)} = 0</math>并且<math>U_{ij}^{(s)} = 1</math>否则，移除概率。然后定义矩阵集合<math>\mathbf{U} = \{\mathbf{T}^{(λ)}\}⋃\{\mathbf{U}^{(s)},s \in \mathcal{A}\}</math>。最后，定义G作为由迭代乘法从集合U生成的所有矩阵的集合。也就是，G的一个元素g是
<math>
g^{(ab \dots cd)} = \mathbf{U}^{(d)}\mathbf{U}^{(c)}\dots\mathbf{U}^{(b)}\mathbf{U}^{(a)}, \tag{D1}
</math>
其中<math>a,b, \dots c,d \in \mathcal{A}</math>。很明确地，G对应一个在矩阵乘法下的半群。更多地，<math>g^{(a \dots bc)} = \mathbf{0}</math>(所有元素为零的矩阵)当且仅当，忽略了符号a...b的顺序，我们必须从无法忽略符号c开始到达一种状态。也就是，零矩阵0是生成的当且仅当将c连接到a...b是禁止的。元素∅因此是所有元素为0的矩阵0，这是完全符号要求的限制条件。这完成了命题1的证明。
我们将矩阵的表征——等式（D1）从<math>\mathcal{A}^{\mathcal{k}}</math>从提取所有的单词——ϵ-机器<math>\{\mathbfcal{S},\mathbf{T}\}</math>的半群机器G。查阅参考文献【89】。
=== 细化引理的另一种证明 ===
引理7的证明从闲言片语中得来，但我们不但留后面。不幸的是，这意味着介绍两段新数学。
首先，我们需要是带有对于固定的L相对的<math>\overset{\to L}{S}</math>强同质性（定义6）的最大的聚类；他们是，也就是说，因果态的切片。对应地，我们将讨论<math>\mathcal{S}^L</math>和<math>σ^L</math>，类似于S和σ。我们将需要去定义函数<math>ϕ_{σρ}^{L} \equiv P(\mathcal{S}^L = σ^L \vert \mathcal{R} = ρ)</math>。
综上所述，对每个L我们将
<math>
\begin{aligned}
H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R} = ρ ] &= H[\sum_{σ^L}ϕ_{σρ}^{L}P(\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}^L = σ^L )] \ (E1) \\
&\ge \sum_{σ^L}ϕ_{σρ}^{L}H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}^L = σ^L ]. \ (E2)
\end{aligned}
</math>
因此，
<math>
\begin{aligned}
H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R}] &= \sum_{ρ}P(\mathcal{R} = ρ) H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R} = ρ] \ (E3) \\
&\ge \sum_{ρ}P(\mathcal{R} = ρ) \sum_{σ^L}ϕ_{σρ}^{L}H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}^L = σ^L ] \ (E4) \\
&= \sum_{σ^L,ρ}P(\mathcal{R} = ρ) ϕ_{σρ}^{L}H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}^L = σ^L ] \ (E5) \\
&= \sum_{σ^L,ρ}P(\mathcal{S}^L = σ^L, \mathcal{R} = ρ) H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}^L = σ^L ] \ (E6) \\
&= \sum_{σ^L}P(\mathcal{S}^L = σ^L) H[\overset{\to}{S} \vert \mathcal{S}^L = σ^L ] \ (E7) \\
&= H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}^L]. \ (E8)
\end{aligned}
</math>
也就是说，
<math>
H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R} ] \ge H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{S}^L] \tag{E9}
</math>
当且仅当每一个<math>ϕ_{σρ}^{L}</math>是0或1时两者相等。
因此，如果H[S->L|R^] = H[S->|SL]，每一个ρ^是完全包含在一些σL中；除非测度是0的可能子集。但是对于每一个L是真的——哪种呢？在预知竞争者R^的情况，它是的——然后每一个ρ^是至少弱同质性（定义7）对应于所有S->L。所以，由引理3可知，它的所有成员，除开测度为0的相同子集，属于同一个因果态。证毕。
=== 对于准-无限未来的有限熵 ===
当情况处于H[S->]是有限的——更准确地，其中极限L->