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翻译完附录：对于准-无限未来的有限熵
当且仅当每一个<math>ϕ_{σρ}^{L}</math>是0或1时两者相等。
当且仅当每一个<math>ϕ_{σρ}^{L}</math>是0或1时两者相等。
因此，如果<math>H[\overset{\to L}{S} \vert \mathcal{R} ] = H[\overset{\to }{S} \vert \mathcal{S}^L]</math>，每一个<math>\hat{ρ}</math>是完全包含在一些<math>σ^L</math>中；除非测度是0的可能子集。但是对于每一个L是真的——哪种呢？在预知竞争者<math>\hat{\mathcal{R}}</math>的情况，它是的——然后每一个<math>\hat{ρ}</math>是至少弱同质性（定义7）对应于所有<math>\overset{\to L}{S}</math>。所以，由引理3可知，它的所有成员，除开测度为0的相同子集，属于同一个因果态。证毕。
=== 对于准-无限未来的有限熵 ===
=== 对于准-无限未来的有限熵 ===
当情况处于<math>H[\overset{\to}{S}]</math>是有限的——更准确地，其中极限<math>\lim\nolimits_{L \to \infty}H[\overset{\to L}{S}]</math>存在且是有限的——或许是对信息理论家兴趣不大，他们对物理学家是更有兴趣的，因为他们相应地，相对于其他事情，是周期且有限循环行为。他们是，不管怎样，在主要研究过程中什么是真正的无限熵行为和有限熵之间只有两个重要的区别。
首先，我们可以简单地用<math>H[\overset{\to}{S}]</math>替换形如“对于所有的<math>L, H[\overset{\to L}{S}] \ \dots</math>”的陈述。例如，对于有限熵过程的最优预测理论（定理1）变成了对于所有的<math>\mathbfcal{R}, H[\overset{\to}{S} \vert \mathcal{R}] \ge H[\overset{\to}{S} \vert \mathcal{S}]</math>。详细的证明，不管怎样，完全是类似的。
其次，我们可以证明一个基本上更强的控制理论（定理6）版本。
定理7（有限控制理论）对于所有的预知竞争者<math>\hat{\mathcal{R}}</math>，
<math>
H[\overset{\to}{S} ] - H[\overset{\to}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}] \le C_μ. \tag{F1}
</math>
证明。由等式（A9）直接应用和互信息定义等式（8）可知，我们有
<math>
H[\overset{\to}{S} ] - H[\overset{\to}{S} \vert \mathcal{S}] \le H[\mathcal{S}]. \tag{F2}
</math>
但是，由预知竞争者的定义（定义11），<math>H[\overset{\to}{S} \vert \mathcal{S}] = H[\overset{\to}{S} \vert \hat{\mathcal{R}}]</math>，并且，由定义，<math>C_μ = H[\mathcal{S}]</math>。等式中的基本等式赋予我们这个定理。证毕。
=== 和其他领域的关系 ===
==== 时间序列建模 ====
时间序列建模的目标是基于它的过去去预测一段测量序列的未来。更广义地说，这个可以被分成两部分：识别相等的过去并且然后生成对于每个相等过去聚类的一个预测。这就是，我们首先取得一个函数<math>η:\overset{\gets}{S} \mapsto \mathcal{R}</math>并且取得另一个函数<math>p:\mathcal{R} \mapsto \overset{\to}{S}</math>。