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定义9（一个ϵ-机器定义）

定义9（一个ϵ-机器定义）

一个过程的'''<font color="#ff8000">ϵ-机器</font>'''是有序对{ϵ，T}，其中ϵ是因果态函数而T是由ϵ定义的状态转换矩阵。

一个过程的'''<font color="#ff8000">ϵ-机器</font>'''是有序对<math>\{ϵ，\mathbf{T}\}</math>，其中ϵ是因果态函数而<math>\mathbf{T}</math>是由ϵ定义的状态转换矩阵。

等同地，我们或许由{S, T}表示一个ϵ-机器。

等同地，我们或许由<math>\{\mathbfcal{S}, \mathbf{T}\}</math>表示一个ϵ-机器。

为了符合第II节F代数要求，我们显式构造同半群理解的联系。

为了符合第II节F代数要求，我们显式构造同半群理解的联系。

命题 1（ϵ-机器是幺半群）由ϵ-机器{ϵ, T}生成的代数是带单位元的半群, 也就是，它是幺半群。

命题 1（ϵ-机器是幺半群）由ϵ-机器<math>\{ϵ, \mathbf{T}\}</math>生成的代数是带单位元的半群, 也就是，它是幺半群。

证明。参看附录D。

证明。参看附录D。

引理 5（ϵ-机器是决定性的）对于每一个<math>\mathcal{S}_i</math>和<math>s \in \mathcal{A}</math>，<math>T_{ij}^{(s)}>0</math>只对于那些<math>\mathcal{S}_j</math>对于<math>ϵ(\overset{\leftarrow}{s}s)=\mathcal{S}_j</math>当且仅当<math>ϵ(\overset{\leftarrow}{s})=\mathcal{S}_i</math>，对于所有的过去<math>\overset{\leftarrow}{s}</math>。

引理 5（ϵ-机器是决定性的）对于每一个<math>\mathcal{S}_i</math>和<math>s \in \mathcal{A}</math>，<math>T_{ij}^{(s)}>0</math>只对于那些<math>\mathcal{S}_j</math>对于<math>ϵ(\overset{\leftarrow}{s}s)=\mathcal{S}_j</math>当且仅当<math>ϵ(\overset{\leftarrow}{s})=\mathcal{S}_i</math>，对于所有的过去<math>\overset{\leftarrow}{s}</math>。

证明。这个引理是断言的等价，对所有s∈A和S<-,S<-'∈S<-，如果ϵ(s<-) = ϵ(s<-')，则ϵ(s<-s) = ϵ(s<-'s)。（s<-s是另一段历史且附属于这个或那个因果态。）

证明。这个引理是断言的等价，对所有<math>s \in \mathcal{A}</math>和<math>\overset{\gets}{s},\overset{\gets '}{s} \in \overset{\gets}{\mathbf{S}}</math>，如果<math>ϵ(\overset{\gets}{s}) = ϵ(\overset{\gets'}{s})</math>，则<math>ϵ(\overset{\gets}{s}s) = ϵ(\overset{\gets '}{s}s)</math>。（<math>\overset{\gets}{s}s</math>是另一段历史且附属于这个或那个因果态。）

    假设这点不对。就有存在至少一个将来的s->符合

    假设这点不对。就有存在至少一个将来的<math>\overset{\to}{s}</math>符合

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尽管ϵ(s<-) = ϵ(s<-')。等价地，我们应该有

尽管<math>ϵ(\overset{\gets}{s}) = ϵ(\overset{\gets '}{s})</math>。等价地，我们应该有

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其中我们将ss->读为准无限字符串，开始于s而由s->继续。（记住，我们打破随机过程的点从一个过去到一个未来是武断的。）尽管如此，在分母里的概率是等于P(S->1 = s | S<- = s<-P(S<- = s<-)和P(S->1 = s | S<- = s<-')P(S<- = s<-')，分别地，而且由假设P(S->1 = s | S<- = s<-') = P(S->1 = s | S<- = s<-)，由于ϵ(s<-') = ϵ(s<-)。因此，我们应该需要

其中我们将<math>s\overset{\to}{s}</math>读为准无限字符串，开始于s而由<math>\overset{\to}{s}</math>继续。（记住，我们打破随机过程的点从一个过去到一个未来是武断的。）尽管如此，在分母里的概率是等于<math>P(\overset{\to 1}{S} = s \vert \overset{\gets}{S} = \overset{\gets}{s})P(\overset{\gets}{S} = \overset{\gets}{s})</math>和<math>P(\overset{\to 1}{S} = s \vert \overset{\gets}{S} = \overset{\gets '}{s})P(\overset{\gets}{S} = \overset{\gets '}{s})</math>，分别地，而且由假设<math>P(\overset{\to 1}{S} = s \vert \overset{\gets}{S} = \overset{\gets '}{s}) = P(\overset{\to 1}{S} = s \vert \overset{\gets}{S} = \overset{\gets}{s})</math>，由于<math>ϵ(\overset{\gets '}{s}) = ϵ(\overset{\gets}{s})</math>。因此，我们应该需要

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这也是在说有一个未来ss->有不同的概率依赖于我们是用s<-还是s<-'的条件。但是这个对立面假设这两段历史附属于相同的因果态。因此，没有这样的未来s->，而引理替换的描述是真的。证毕。

这也是在说有一个未来<math>s\overset{\to}{s}</math>有不同的概率依赖于我们是用<math>\overset{\gets}{s}</math>还是<math>\overset{\gets '}s</math>的条件。但是这个对立面假设这两段历史附属于相同的因果态。因此，没有这样的未来<math>\overset{\to}{s}</math>，而引理替换的描述是真的。证毕。

    备注1。在自动化理论【66】中，一个状态的集合和转换说是决定性的，如果当前的状态和下一个输入——在这里，是原始随机过程的下一个结果——一并修正下一个状态。这个用语“决定性”通常容易混淆，因为很多随机过程（例如，简单的马尔可夫链）在这种语境下是决定性的。

    备注1。在自动化理论【66】中，一个状态的集合和转换说是决定性的，如果当前的状态和下一个输入——在这里，是原始随机过程的下一个结果——一并修正下一个状态。这个用语“决定性”通常容易混淆，因为很多随机过程（例如，简单的马尔可夫链）在这种语境下是决定性的。

备注2。从固定状态开始，一个给定的符号总是导向最多一个单状态，但这会有多个从一个状态到另一个的转换，每一个被标记会不同的符号。

备注2。从固定状态开始，一个给定的符号总是导向最多一个单状态，但这会有多个从一个状态到另一个的转换，每一个被标记会不同的符号。

备注3。很清楚的是，如果Tij(s) >０，那么Tij(s) = P(S->1 = s|S = Si)。在自动化理论里这个“不允许”转换（Tij(s) = 0）有时候是明显存在的，并且导向一个“弹出”状态指示对应部分历史没有发生。

备注3。很清楚的是，如果<math>T_{ij}^{(s)} > 0</math>，那么<math>T_{ij}^{(s)} = P(\overset{\to 1}{S} = s \vert \mathcal{S} = \mathcal{S}_i)</math>。在自动化理论里这个“不允许”转换（<math>T_{ij}^{(s)} = 0</math>）有时候是明显存在的，并且导向一个“弹出”状态指示对应部分历史没有发生。

引理6（因果态是相互不依赖的）因果态上的概率分布在不同时间是条件无关的。

引理6（因果态是相互不依赖的）因果态上的概率分布在不同时间是条件无关的。

    证明。我们想展示的是，将因果态序列在三个连续的时间步写成S, S'，S\'\'，在给定S'后，S和S\'\'是条件无关的。我们可以直接做到这样：

    证明。我们想展示的是，将因果态序列在三个连续的时间步写成<math>\mathcal{S}, \mathcal{S}'，\mathcal{S}''</math>，在给定<math>\mathcal{S}'</math>后，<math>\mathcal{S}</math>和<math>\mathcal{S}''</math>是条件无关的。我们可以直接做到这样：

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定义10（ϵ-机制重构）

定义10（ϵ-机制重构）

ϵ-机制重构是任意给定一个过程P(S<->)，或P(S<->)的一个近似，生成这个过程的ϵ-机制{S, T}的流程。

ϵ-机制重构是任意给定一个过程<math>P(\overset{\harr}{S})</math>，或<math>P(\overset{\harr}{S})</math>的一个近似，生成这个过程的ϵ-机器<math>\{\mathbfcal{S}, \mathbf{T}\}</math>的流程。

    给定一个过程的数学描述，有人可以经常计算分析它的ϵ-机制。（例如，查阅参考文献【65】中旋转系统的计算力学分析。）这里也有很多宽泛的算法可以从P(S<->)的经验模拟重构ϵ-机制。一些，比如那些在参考文献【5-7，69】中使用到的，操作在“批量”模式，将原始数据一起处理然后生成ϵ-机制。其他的可以操作在增量，处于“在线”模式，将因果态和它们的转移概率集合单独的测量和重新评估。

    给定一个过程的数学描述，有人可以经常计算分析它的ϵ-机制。（例如，查阅参考文献【65】中旋转系统的计算力学分析。）这里也有很多宽泛的算法可以从<math>P(\overset{\harr}{S})</math>的经验模拟重构ϵ-机制。一些，比如那些在参考文献【5-7，69】中使用到的，操作在“批量”模式，将原始数据一起处理然后生成ϵ-机制。其他的可以操作在增量，处于“在线”模式，将因果态和它们的转移概率集合单独的测量和重新评估。