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只要有两个个体共同演化，就会产生个体与两个人组成的整体演化规律的差异。比如空中比翼双飞的两只鸟，整体会有一套属于自己的飞行轨迹，如果单独观察一只鸟我们会发现，由于另一只鸟与之产生个体之间相互的影响，该鸟飞行的轨迹与其独立飞行，就会产生很大的差异。由于相互作用的存在，两只鸟整体的飞行轨迹亦不能简单的归因到一只鸟独立飞行的轨迹与路线。像这样，'''后一时刻的宏观态演化无法归因到前一时刻的微观态，这种现象被我们称为因果涌现。'''
随机迭代系统的因果涌现指的是针对形如<math>
随机迭代系统的因果涌现指的是针对形如<math>
x_{t+1}=f(x_t)+\varepsilon_t, f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma),{\rm rk}(\Sigma)=n
x_{t+1}=f(x_t)+\varepsilon_t, f:\mathcal{R}^n\to\mathcal{R}^n, \varepsilon_t\sim\mathcal{N}(0,\Sigma),{\rm rk}(\Sigma)=n
</math>个特征值；第二，我们要将我们的随机噪声进行降噪，在保留一定信息熵的基础上，将噪声最小化。
</math>个特征值；第二，我们要将我们的随机噪声进行降噪，在保留一定信息熵的基础上，将噪声最小化。
== 应用案例 ==
[[文件:C3d90f04-1536-4e92-a438-41d1213f2f81.png|缩略图|224x224像素|随机游走相关实验结果]]
=== 随机游走 ===
随机游走的分析侧重于噪声<math>
\varepsilon_t
</math>和协方差矩阵<math>
\Sigma
</math>，它们主要影响确定性的出现。随机行走模型是一种数学模型，用于描述物体在特定空间中的随机运动，其中，步行者在一系列位置之间移动，每次移动的方向和距离都是随机的。该模型可以研究各种现象，如金融市场中资产价格的变化、流体中粒子的扩散等。在随机游走模型中，步行者每次只能向左或向右移动一定距离，距离服从正态分布。当多个因子共存时，可以形成一个变化参数矩阵作为恒等矩阵。
观察主要受噪声影响的随机游走因子在不同维度上的轨迹与微观状态噪声<math>
\varepsilon_t
</math>和宏观状态噪声<math>
\varepsilon_t
</math>的四维概率密度函数，不难看出粗粒化策略对于系统有降噪的作用。观察不同宏观状态维度<math>
k
</math>下的因果涌现程度。在粗粒化参数矩阵<math>
W
</math>的奇异值均为1的条件下，<math>
k
</math>越小，系统的确定性越强，因果涌现的程度会越强。同时可以发现<math>
\Sigma
</math>的特征值<math>
\kappa_i,i=1，\dots，n
</math>的方差越大，产生因果涌现的潜在可能性就越高。
[[文件:Output.png|缩略图|270x270像素|热量耗散模型相关实验结果]]
=== 热量耗散 ===
[[文件:0300b2a3-8a32-4c57-a956-553b7fb92a6f.png|缩略图|313x313像素|旋转模型相关实验]]
随机游走侧重于确定性和噪声，而第二种情况将侧重于非简并性和参数矩阵<math>
A
</math>。这种情况被称为离散化热传导模。在这种离散情况下，热传导主要反映在相应观测节点处随时间变化的温度上。我们可以使用矩阵<math>
A
</math>来表示温度的变化，其中包括变化率的信息。该矩阵通常对应于正定稀疏矩阵，可用于描述系统的温度变化过程。
散热模型的实验结果显示，4个节点在不同时间点的温度微观状态数据都处于下降趋势的情况下，通过粗粒化可以将微观态数据直接映射成宏观状态数据，也可以只粗粒化起始时刻由宏状态动力学生成之后的演化数据，而两者趋势接近，可以验证宏观动力学的有效性。将宏观状态不同维度下因果涌现程度进行比较。<math>
k
</math>越小，系统的简并性越弱，最优的因果涌现的程度会越强。我们还可以将依赖数据的因果涌现数值解，和不依赖数据的因果涌现解析解进行比较，可以发现随着样本量的增加，因果涌现的数值解逐渐接近解析解。
=== 三维空间的旋转模型 ===
除了针对特定模型获得的结果外，我们还需要更直观地理解粗粒化和因果出现的含义。在这里，以解析几何中的螺旋旋转模型为例，在三维空间中可视化模型系统，并分析因果涌现在三维空间是如何反映的。
通过实验结果可以发现，其实因果涌现的主要原因就是在空间中，系统的演化虽然处于三维空间中，但是只依托于一条一维的直线或者一个二维平面，就可以近似出系统的演化规律。如果粒子在三维空间中，围绕一条直线进行运动，并且收敛于该直线，那么直线方向的演化可以视为梯度流，而与直线垂直的平面上的演化可以视为螺线管流，简言之，就是直线上可以更清晰的观测到系统的演化方向。因此会在压缩到一维时产生较大的因果涌现。如果系统是收敛到一个平面，那么该平面能反映系统的演化方向，这时压缩到二维，会产生最大的因果涌现。由于旋转矩阵会出现复数特征根，我们根据特征根的模长计算因果涌现，之所以不压缩到一维，是因为前两个特征值是共轭复数，模长相等，压缩到一维不会增强因果涌现，反而会使误差变得更大。