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如果神经网络的输入<math> X=(x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n)\in [-L,L]^n</math>，则表示X定义在一个大小为L的超立方体上，其中L是一个非常大的整数。输出为<math>Y=(y_1,y_2,\cdot\cdot\cdot,y_m)</math>， <math>Y=\mu(X)</math>。这里µ是神经网络实现的确定性映射:<math>\mu: \mathcal{R}^n\rightarrow \mathcal{R}^m</math>，它在X处的雅可比矩阵是<math>\partial_{X'} \mu(X)\equiv \left\{\frac{\partial \mu_i(X')}{\partial X'_j}\left|_{X'=X}\right.\right\}_{nm}</math>。如果神经网络可以看作是给定X条件下的高斯分布，则神经网络的有效信息(EI)可以用以下方法计算:

如果神经网络的输入<math> X=(x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n)\in [-L,L]^n</math>，则表示X定义在一个大小为L的超立方体上，其中L是一个非常大的整数。输出为<math>Y=(y_1,y_2,\cdot\cdot\cdot,y_m)</math>， <math>Y=\mu(X)</math>。这里µ是神经网络实现的确定性映射:<math>\mu: \mathcal{R}^n\rightarrow \mathcal{R}^m</math>，它在X处的雅可比矩阵是<math>\partial_{X'} \mu(X)\equiv \left\{\frac{\partial \mu_i(X')}{\partial X'_j}\left|_{X'=X}\right.\right\}_{nm}</math>。如果神经网络可以看作是给定X条件下的高斯分布，则神经网络的有效信息(EI)可以用以下方法计算:

{{NumBlk|：|2=<blockquote>EI_L(\mu)=I(do(X\sim U([-L,L]^{n};Y)\approx & -\frac{m+m \ln (2\pi)+ \sum_{i=1}^m\sigma_i^2}{2}\\

{{NumBlk|：|2=<blockquote>EI_L(\mu)=I(do(X\sim U([-L,L]^{n};Y)\approx & -\frac{m+m \ln (2\pi)+\sum_{i=1}^m\sigma_i^2}{2}\\& +n\ln (2L) + \mathbf{E}_{X\sim U([-L,L]^n} \left(\ln{{!}}\det(\partial_{X'} \mu(X)){{!}}\right)<\blockquote>|3={{EquationRef|2}}}}

        & +n\ln (2L) + \mathbf{E}_{X\sim U([-L,L]^n} \left(\ln {{!}}\det(\partial_{X'} \mu(X)){{!}}\right)<\blockquote>|3={{EquationRef|2}}}}

式中，<math>$\Sigma=diag(\sigma_1^2,\sigma_2^2,\cdot\cdot\cdot,\sigma_m^2)$</math> 是协方差矩阵， <math>$\sigma_i$</math>是输出<math>$\y_i$</math>的标准差，可由<math>$\y_i$</math>的均方误差估计得到，<math>U([-L,L]^n)</math>为<math>[-L,L]^n</math>上的均匀分布，<math>| · |</math>为绝对值，det为行列式。如果<math>\det(\partial_{X'} \mu(X))\equiv 0</math>对于所有X，则令EI≈0。

式中，<math>$\Sigma=diag(\sigma_1^2,\sigma_2^2,\cdot\cdot\cdot,\sigma_m^2)$</math> 是协方差矩阵， <math>$\sigma_i$</math>是输出<math>$\y_i$</math>的标准差，可由<math>$\y_i$</math>的均方误差估计得到，<math>U([-L,L]^n)</math>为<math>[-L,L]^n</math>上的均匀分布，<math>| · |</math>为绝对值，det为行列式。如果<math>\det(\partial_{X'} \mu(X))\equiv 0</math>对于所有X，则令EI≈0。

如果<math>f_M</math>和<math>f_m</math>由q维的<math>µ_M</math>和p维的<math>µ_m</math>的神经网络参数化，则：

如果<math>f_M</math>和<math>f_m</math>由q维的<math>µ_M</math>和p维的<math>µ_m</math>的神经网络参数化，则：

<math>\Delta\mathcal{J}=&\left(\frac{1}{q}\mathbf{E}_{X_M}\ln|\det \partial_{X_M}\mu_M|-\frac{1}{p}\mathbf{E}_{X_m}\ln|\det \partial_{X_m}\mu_m|\right)\\

<math>\Delta\mathcal{J}=&\left(\frac{1}{q}\mathbf{E}_{X_M}\ln|\det \partial_{X_M}\mu_M|-\frac{1}{p}\mathbf{E}_{X_m}\ln|\det\partial_{X_m}\mu_m|\right)\\&-\left(\frac{1}{q}\sum_{i=1}^{q}\ln\sigma_{i,M}^2-\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p}\ln\sigma_{i,m}^2\right)</math>

        &-\left(\frac{1}{q}\sum_{i=1}^{q}\ln\sigma_{i,M}^2-\frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p}\ln\sigma_{i,m}^2\right)</math>

式中，其中<math>\sigma_{i,M}</math>和<math>\sigma_{i,m}</math>分别是<math>µ_M</math>和<math>µ_m</math>在第i维上的标准差。

式中，其中<math>\sigma_{i,M}</math>和<math>\sigma_{i,m}</math>分别是<math>µ_M</math>和<math>µ_m</math>在第i维上的标准差。