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第1行：
第1行： − + − 下面将定义马尔科夫链上的严格动力学可逆性，并提出了一个量化指标：近似动力学可逆性。来衡量任意马尔可夫链对严格动力学可逆性的接近程度。+ − + 第17行：
第17行： − + − === 定理1 ===+ − 对于一个给定的马尔科夫链<math> − + + 第54行：
第54行： − + 第85行：
第85行： − === 定理2 ===+ + + + + − == 决定性和简并性 ==+ + + + + + − + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − + + + + + − + − + − + − +
百科框架
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。kk
==理论==
==理论==
下面将定义马尔科夫链上的动力学可逆性，并提出了一个量化指标：近似动力学可逆性。来衡量任意马尔可夫链对动力学可逆性的接近程度。
== 什么是动力学可逆性 ==
==什么是动力学可逆性==
对于给定的马尔可夫链<math>
对于给定的马尔可夫链<math>
\chi
\chi
</math>的有效TPM，则<math>
</math>的有效TPM，则<math>
\chi
\chi
</math>和P 可以称为严格动力学可逆的。
</math>和P 可以称为动力学可逆的。
定理1：对于一个给定的马尔科夫链<math>
\chi
\chi
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是严格动力学可逆的。
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是严格动力学可逆的。
纯粹的[[置换矩阵]]在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
纯粹的[[置换矩阵]]在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
== 近似动力学可逆性 ==
==近似动力学可逆性==
下面定义矩阵P的近似动力学可逆性：
下面定义矩阵P的近似动力学可逆性：
</math>来得到。
</math>来得到。
定理2：对于任意<math>
\alpha\in(0,2)
</math>，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值.
证明见附录A.2.2
更进一步来说，可以证明，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>的下界可以由<math>
{||P||}_{F}^{\alpha}
</math>确定。
== 归一化及例子 ==
==决定性和简并性==
通过调整参数<math>
\alpha\in(0,2)
</math>，我们可以使更好地反映P的确定性或者简并性。当<math>
\Gamma_{\alpha}\to0,\Gamma_{\alpha}
</math>收敛到P的秩，这类似于EI定义中的非简并项，因为随着P越来越退化，r越来越小。然而，定义不允许<math>
\alpha
</math>精确为零，因为rank(P)不是P的连续函数，而且最大化秩不会导致置换矩阵。
同样，当<math>
\Gamma_{\alpha}\to2
</math>时，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>收敛到<math>
{||P||}_{F}^{2}
</math>，但是定义不允许<math>
\alpha
</math>取2，因为<math>
\Gamma_{\alpha=2}
</math>的最大化并不意味着P是可逆的。<math>
{||P||}_{F}
</math>与EI定义中的确定性项具有可比性，因为当P具有越来越多的one-hot向量，P的中的最大转移概率也会变得更大，意味着动力学变得更加可逆。
在实践中，我们总是取alpha=1 来平衡gama测量确定性和简并性的倾向，gama被称为核规范。
考虑到alpha=1的重要性，我们将主要展示alpha=1 的结果，在下文中，我们将gama1基座gama。
== <math>
==归一化及例子==
gamaa受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链
之间进行比较。
容易证明，gamaa总是小于1。
==<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>和EI的联系 ==
</math>和EI的联系==
=== 定理3 ===
===定理3===
=== 定理4 ===
===定理4===
== 一种新的因果涌现量化方法 ==
==一种新的因果涌现量化方法==