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[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。kk
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
==理论==
==理论==
gamaa受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链
gamaa受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链
之间进行比较。
之间进行比较。
<math>
\gamma_{\alpha}=\frac{\Gamma_{\alpha}}{N}
</math>
容易证明，gamaa总是小于1。
容易证明，gamaa总是小于1。
==<math>
==<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>和EI的联系==
</math>和EI的联系==
一方面，EI 表征了马尔可夫链的因果效应强度；另一方面，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>可以定量地捕捉马尔可夫链的近似动态可逆性。基于可逆性的因果涌现理论认为，因果关系和可逆性之间有着深刻的联系。首先，如下定理所述，EI 和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math> 有相同的最小值和最大值。
定理3:对于任意 TPM P 和 <math>
\alpha\in(0,2)
</math>，<math>
\Gamma_{\alpha}
</math>的对数和EI都有相同的最小值0和一个共同的最小值<math>
P=\frac{1}{N}I_{N\times{N}}
</math>。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
证明见附录A.3
因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>和EI可以达到最大值<math>
\log{N}
</math>。当<math>
P_{i}=\frac{\mathbb{I}}{N},\forall{i}\in[1,N]
</math>，它们也可以达到最小值0。然而，我们可以证明<math>
\frac{\mathbb{I}}{N}
</math>并不是EI的唯一最小点,对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0.其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。这一点由下面的定理证明。
定理4：对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
证明见附录A.3.
因此，我们有如下不等式：
<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>,因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
<math>
EI\approx{\log{\Gamma_{\alpha}}.
</math>
==一种新的因果涌现量化方法==
==一种新的因果涌现量化方法==