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</math>收敛到P的秩，这类似于EI定义中的非简并项，因为随着P越来越退化，r越来越小。然而，定义不允许<math>
</math>收敛到P的秩，这类似于EI定义中的非简并项，因为随着P越来越退化，r越来越小。然而，定义不允许<math>
\alpha
\alpha
</math>精确为零，因为rank(P)不是P的连续函数，而且最大化秩不会导致置换矩阵。
</math>精确为零，因为rank(P)不是P的连续函数，而且最大化秩不会导致置换矩阵。同样，当<math>
\Gamma_{\alpha}\to2
\Gamma_{\alpha}\to2
</math>时，<math>
</math>时，<math>
P=\frac{1}{N}I_{N\times{N}}
P=\frac{1}{N}I_{N\times{N}}
</math>。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
</math>。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
证明见附录A.3
证明见附录A.3
因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}
\log{\Gamma_{\alpha}}
\frac{\mathbb{I}}{N}
\frac{\mathbb{I}}{N}
</math>并不是EI的唯一最小点,对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0.其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。这一点由下面的定理证明。
</math>并不是EI的唯一最小点,对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0.其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。这一点由下面的定理证明。
定理4：对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math>
定理4：对于任何TPM P，其有效信息EI的上限为<math>\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>，下限为<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
证明见附录A.3.
证明见附录A.3.
因此，我们有如下不等式：
因此，我们有如下不等式：
<math>
<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}\le{EI}\le\frac{2}{\alpha}\log{\Gamma_{\alpha}}</math>
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>,因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
实际上，EI有一个更严格的上限，<math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}</math>,这个上限是由数值实验的结果确定的。我们发现在许多例子中，EI和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math>,因此，基于可逆性的因果涌现理论主张：
<math>
<math>
EI\approx{\log{\Gamma_{\alpha}}.
EI\approx{\log{\Gamma_{\alpha}}.
</math>
</math>
==一种新的因果涌现量化方法==
==一种新的因果涌现量化方法==