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第34行： − 一个重要的观察是：所有置换矩阵的行向量都是[[one-hot向量]]（即只有一个元素是1，其余元素均为零）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。+ 第54行：
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下面将定义马尔科夫链上的动力学可逆性，并提出了一个量化指标：近似动力学可逆性。来衡量任意马尔可夫链对动力学可逆性的接近程度。
下面将定义马尔科夫链上的动力学可逆性，并提出了一个量化指标：近似动力学可逆性。来衡量任意马尔可夫链对动力学可逆性的接近程度。
==动力学可逆性==
==定义动力学可逆性==
对于给定的马尔可夫链<math>
对于给定的马尔可夫链<math>
\chi
\chi
</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
所有置换矩阵的行向量都是[[one-hot向量]]（即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。
首先，矩阵的秩可以被写作：
首先，矩阵的秩可以被写作：
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
这也是所有奇异值的平方和。可以看出矩阵的秩和弗罗贝尼乌斯范数都与奇异值相联系。
==近似动力学可逆性==
==定义近似动力学可逆性==
下面定义矩阵P的近似动力学可逆性：
下面定义矩阵P的近似动力学可逆性：
==一种新的因果涌现量化方法==
==一种新的因果涌现量化方法==
=== 定义因果涌现的程度 ===
=== 定义因果涌现强度 ===
=== 定义模糊因果涌现 ===
=== 定义模糊因果涌现 ===