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===宏观动力学===

===宏观动力学===

对于给定的宏观状态时间序列 <math>\mathbf{y}_1，\mathbf{y}_2,···,\mathbf{y}_T</math> ，宏观状态动力学是一组微分方程

对于给定的宏观状态时间序列 <math>\mathbf{y}_1，\mathbf{y}_2,···,\mathbf{y}_T</math> ，宏观状态动力学是一组微分方程

{{NumBlk|:|<blockquote><math>\frac{d\mathbf{y}}{dt} = \hat{f}_{\phi_q}(\mathbf{y}, ξ')</math></blockquote>|{{EquationRef|2}}}}

{{NumBlk|:|<blockquote><math>\frac{d\mathbf{y}}{dt} = \hat{f}_{\phi_q}(\mathbf{y}, ξ')</math></blockquote>|{{EquationRef|2}}}}

其中<math>\mathbf{y} ∈ \mathcal{R}^q</math> , <math>ξ' ∈ \mathcal{R}^q</math> 是宏观状态动力学中的高斯噪声，<math>\hat{f}_{\phi_q}</math>  是连续微分函数，可最小化方程{{EquationNote|2}}在任何给定的时间步长 <math>t ∈ [1,T]</math> 和给定的向量形式<math>\Vert \cdot \Vert</math> 下的解

 

其中<math>\mathbf{y} ∈ \mathcal{R}^q</math>为宏观态, <math>ξ' ∈ \mathcal{R}^q</math> 是宏观状态动力学中的噪声，<math>\hat{f}_{\phi_q}</math>  是连续可微函数，可最小化方程{{EquationNote|2}}在任何给定的时间步长 <math>t ∈ [1,T]</math> 和给定的向量形式<math>\Vert \cdot \Vert</math> 下的解：

 

{{NumBlk|:|<math>\mathbf{y}(t)</math> ：<blockquote><math>\langle \Vert \mathbf{y}_t-\mathbf{y}(t)\Vert \rangle_{ξ'}</math></blockquote>|{{EquationRef|3}}}}

{{NumBlk|:|<math>\mathbf{y}(t)</math> ：<blockquote><math>\langle \Vert \mathbf{y}_t-\mathbf{y}(t)\Vert \rangle_{ξ'}</math></blockquote>|{{EquationRef|3}}}}

此公式不能排除一些平凡解。例如，假设对于 <math>∀ \mathbf{y}_t ∈ \mathcal{R}^p</math>  , <math>q = 1</math> 维的 <math>\phi_q</math> 定义为 <math>\phi_q(\mathbf{x}_t) = 1</math> 。因此，相应的宏观动力学只是 <math>d\mathbf{y}/dt = 0</math> 和 <math>\mathbf{y}(0) = 1</math>。由于宏观状态动力学是平凡的，粗粒化映射过于随意，此方程无意义。因此，必须对粗粒化策略和宏观动力学设置限制以避免平凡解和动力学。

此公式不能排除一些平凡解。例如，假设对于 <math>∀ \mathbf{y}_t ∈ \mathcal{R}^p</math>  , <math>q = 1</math> 维的 <math>\phi_q</math> 定义为 <math>\phi_q(\mathbf{x}_t) = 1</math> 。因此，相应的宏观动力学只是 <math>d\mathbf{y}/dt = 0</math> 和 <math>\mathbf{y}(0) = 1</math>。由于宏观状态动力学是平凡的，粗粒化映射过于随意，此方程无意义。因此，必须对粗粒化策略和宏观动力学设置限制以避免平凡解和动力学。