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第19行：
第19行： − 定理1：对于一个给定的马尔科夫链<math>+ + 第85行：
第86行： − 定理2：对于任意<math>+ 第118行：
第119行： + 第135行：
第137行： − + 第168行：
第170行： − + 第176行：
第178行： + − + 第193行：
第196行： + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + − 这些定义与任何粗粒化方法无关。因此，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊 CE 的出现以及这种出现的程度都可以客观地量化。 − 当 ε = 0 时，清晰 CE 是模糊 CE 的特例，特别是当奇异值可以分析求解时，它具有理论价值。此外，对 CE 发生的判断与 α 无关，因为它只与秩有关。因此，清晰 CE 的概念仅由 P 决定，是无参数的。 + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
无编辑摘要
</math>和P 可以称为动力学可逆的。
</math>和P 可以称为动力学可逆的。
'''定理1：'''对于一个给定的马尔科夫链<math>
\chi
\chi
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是严格动力学可逆的。
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是严格动力学可逆的。
</math>来得到。
</math>来得到。
'''定理2：'''对于任意<math>
\alpha\in(0,2)
\alpha\in(0,2)
</math>，<math>
</math>，<math>
{||P||}_{F}
{||P||}_{F}
</math>与EI定义中的确定性项具有可比性，因为当P具有越来越多的one-hot向量，P的中的最大转移概率也会变得更大，意味着动力学变得更加可逆。
</math>与EI定义中的确定性项具有可比性，因为当P具有越来越多的one-hot向量，P的中的最大转移概率也会变得更大，意味着动力学变得更加可逆。
在实践中，我们总是取alpha=1 来平衡gama测量确定性和简并性的倾向，gama被称为核规范。
在实践中，我们总是取alpha=1 来平衡gama测量确定性和简并性的倾向，gama被称为核规范。
考虑到alpha=1的重要性，我们将主要展示alpha=1 的结果，在下文中，我们将gama1基座gama。
考虑到alpha=1的重要性，我们将主要展示alpha=1 的结果，在下文中，我们将gama1基座gama。
</math>可以定量地捕捉马尔可夫链的近似动态可逆性。基于可逆性的因果涌现理论认为，因果关系和可逆性之间有着深刻的联系。首先，如下定理所述，EI 和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math> 有相同的最小值和最大值。
</math>可以定量地捕捉马尔可夫链的近似动态可逆性。基于可逆性的因果涌现理论认为，因果关系和可逆性之间有着深刻的联系。首先，如下定理所述，EI 和<math>\log\Gamma_{\alpha}</math> 有相同的最小值和最大值。
定理3:对于任意 TPM P 和 <math>
'''定理3:''' 对于任意 TPM P 和 <math>
\alpha\in(0,2)
\alpha\in(0,2)
</math>，<math>
</math>，<math>
<math>
<math>
EI\approx{\log{\Gamma_{\alpha}}.
EI\sim\log\Gamma_{\alpha}.
</math>
</math>
==因果涌现的新定义==
==因果涌现的新定义==
\chi
\chi
</math>，如果<math>r≡rank(P)<N</math>，则该系统中会出现明显的因果涌现。且因果涌现的程度为：
</math>，如果<math>r≡rank(P)<N</math>，则该系统中会出现明显的因果涌现。且因果涌现的程度为：
<math>
<math>
\Delta{\Gamma_{\alpha}}=\Gamma_{\alpha}\dot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
\Delta\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}\dot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
</math>
</math>
=== 定义模糊因果涌现===
=== 定义模糊因果涌现===
\epsilon
\epsilon
</math>。而因果涌现的程度为：
</math>。而因果涌现的程度为：
<math>
\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)=\frac{\sum_{i=1}^{r_{\epsilon}}\sigma_{i}^{\alpha}}{r_{\epsilon}}-\frac{\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}}{N},
</math>
其中<math>
r_{\epsilon}=max{i|\sigma_{i}>\epsilon}
</math>
这些定义与任何粗粒化方法无关。因此，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。
当<math>
\epsilon=0
</math>时，清晰因果涌现是模糊因果涌现的特例，特别是当奇异值可以分析求解时，它具有理论价值。此外，对因果涌现发生的判断与<math>
\alpha
</math>无关，因为它只与秩有关。因此，清晰因果涌现的概念仅由P决定，是无参数的。
在实际应用中，必须给出阈值<math>
\epsilon
</math>，因为奇异值可能无限趋近于0，但P是全秩的。可以根据奇异值频谱中的明显截止点来选择<math>
\epsilon
</math>。若<math>
\epsilon
</math>非常小（比如<math>
\epsilon<{10}^{-10}
</math>我们也可以说因果涌现大致发生。
对于任意<math>
\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1].
</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见附录A.3.1。
==EI和Gamma的比较==
==EI和Gamma的比较==
在2.3节中，我们推导出Ei的上界和下界分别是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的线性项，并推测了两者的近似关系：<math>
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>。接下来我们将通过数值模拟证明这一点。
我们在由三种不同方法生成的各种归一化TPM 上比较了<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>和 EI：1）软化置换矩阵；2）软化退化矩阵；3）完全随机矩阵。这些生成模型的详情见附录 B。结果如图2 所示。如图2(a)、(b)和(c)所示，在所有这些例子中都观察到了正相关性，并且在N ≫ 1 时，<math>
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}.
</math>的近似关系得到了证实。在图 2(a) 和 (b) 中可以明显观察到这种关系，但在图 2(b) 中，由于覆盖了有限的<math>
\Gamma
</math>值区域，这种关系退化为近似线性关系。关于不同α的更多结果，请参阅附录B.1节。我们还在图 2(a)和(b)中用红色虚线表示了 EI 的上下限。不过，在图 2（c）中，由于所有点都集中在一个小区域内，因此看不到理论边界线。根据经验，图 2 中灰色断线所示的对数<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的EI上限更为严格。因此，我们推测 <math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待今后的工作来证明。
我们还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和gama的解析解，并展示了EI和gama与参数p和q的关系。图 2(c)和(d)之间的差异显而易见：1）当<math>
p\approx 1-q
</math>时，<math>\Gamma
</math>有一个峰值，但EI没有；2）观察到EI ≈ 0时的区域更宽，而<math>\Gamma\approx 1
</math>时的区域要小得多；3）观察到<math>\Gamma
</math>有一个从0到最大N=2的渐进过渡，但EI没有。
===相似性===
===相似性===