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\epsilon
\epsilon
</math>。而因果涌现的程度为：
</math>。而因果涌现的程度为：
<math>
<math>
\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)=\frac{\sum_{i=1}^{r_{\epsilon}}\sigma_{i}^{\alpha}}{r_{\epsilon}}-\frac{\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}}{N},
\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)=\frac{\sum_{i=1}^{r_{\epsilon}}\sigma_{i}^{\alpha}}{r_{\epsilon}}-\frac{\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^{\alpha}}{N},
r_{\epsilon}=max{i|\sigma_{i}>\epsilon}
r_{\epsilon}=max{i|\sigma_{i}>\epsilon}
</math>
</math>
这些定义与任何粗粒化方法无关。因此，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。
这些定义与任何粗粒化方法无关。因此，它代表了马尔可夫动力学的内在客观属性。因此，清晰和模糊因果涌现的程度都可以客观地量化。
\alpha
\alpha
</math>无关，因为它只与秩有关。因此，清晰因果涌现的概念仅由P决定，是无参数的。
</math>无关，因为它只与秩有关。因此，清晰因果涌现的概念仅由P决定，是无参数的。
在实际应用中，必须给出阈值<math>
在实际应用中，必须给出阈值<math>
\epsilon
\epsilon
\epsilon<{10}^{-10}
\epsilon<{10}^{-10}
</math>我们也可以说因果涌现大致发生。
</math>我们也可以说因果涌现大致发生。
对于任意<math>
对于任意<math>
\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1].
\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1].
</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见附录A.3.1。
</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见附录A.3.1。
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>。接下来我们将通过数值模拟证明这一点。
</math>。接下来我们将通过数值模拟证明这一点。
我们在由三种不同方法生成的各种归一化TPM 上比较了<math>
我们在由三种不同方法生成的各种归一化TPM 上比较了<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}
\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的近似关系得到了证实。在图 2(a) 和 (b) 中可以明显观察到这种关系，但在图 2(b) 中，由于覆盖了有限的<math>
</math>的近似关系得到了证实。在图 2(a) 和 (b) 中可以明显观察到这种关系，但在图 2(b) 中，由于覆盖了有限的<math>
\Gamma
\Gamma
</math>值区域，这种关系退化为近似线性关系。关于不同α的更多结果，请参阅附录B.1节。我们还在图 2(a)和(b)中用红色虚线表示了 EI 的上下限。不过，在图 2（c）中，由于所有点都集中在一个小区域内，因此看不到理论边界线。根据经验，图 2 中灰色断线所示的对数<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>值区域，这种关系退化为近似线性关系。关于不同α的更多结果，请参阅附录B.1节。
我们还在图 2(a)和(b)中用红色虚线表示了 EI 的上下限。不过，在图 2（c）中，由于所有点都集中在一个小区域内，因此看不到理论边界线。根据经验，图 2 中灰色断线所示的对数<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的EI上限更为严格。因此，我们推测 <math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的EI上限更为严格。因此，我们推测 <math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待今后的工作来证明。
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待今后的工作来证明。
我们还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和gama的解析解，并展示了EI和gama与参数p和q的关系。图 2(c)和(d)之间的差异显而易见：1）当<math>
我们还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和gama的解析解，并展示了EI和gama与参数p和q的关系。图 2(c)和(d)之间的差异显而易见：1）当<math>
p\approx 1-q
p\approx 1-q