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==量化因果涌现==

==量化因果涌现==

下面基于Hoel等人的论文[5, 6]中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。

下面基于Hoel等人的论文[5, 6]中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。

图3(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图3(d)中的TPM直接源自图3(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图3(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图3(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>

图3(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图3(d)中的TPM直接源自图3(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图3(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图3(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>

\epsilon=0.2

\epsilon=0.2

</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献[5]，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与 [5] 相同。参考文献 [5] 和 [6] 中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。

</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献[5]，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与 [5] 相同。参考文献 [5] 和 [6] 中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。

对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图 3(j-l)）和细胞自动机（图 4(g-i)）。图 3（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图 3(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图 3(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>

对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图 3(j-l)）和细胞自动机（图 4(g-i)）。图 3（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图 3(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图 3(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>