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[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于[[奇异值分解]]和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
[[基于可逆性的因果涌现理论]]是一种量化[[因果涌现 Causal Emergence|因果涌现]]强度的新框架，该方法基于奇异值分解和近似动力学可逆性的概念，与基于[[有效信息]](EI)的因果涌现理论不同。
==理论==
==理论==
'''定理1：'''对于一个给定的马尔科夫链<math>
'''定理1：'''对于一个给定的马尔科夫链<math>
\chi
\chi
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是[[置换矩阵]]的时候，P是严格动力学可逆的。
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是置换矩阵的时候，P是严格动力学可逆的。
纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
考虑P的秩r，当且仅当r<N的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：1. 尽管<math>
考虑P的秩r，当且仅当r<N的时候，P是不可逆的；且P越退化对应着越小的r。然而，非退化（满秩）的矩阵P并不总是动力学可逆的，因为：1. 尽管<math>
</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
</math>的第一范数应该为1）的合法TPM。2. 如前所述，若P满足动力学可逆性，则P必为置换矩阵。
所有置换矩阵的行向量都是[[one-hot向量]]（即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量）。这一特性可以被矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。
所有置换矩阵的行向量都是[[one-hot向量]]（即只有一个元素是1，其余元素均为零的向量）。这一特性可以被矩阵P的[[弗罗贝尼乌斯范数]]（Frobenius norm）刻画。事实上，当且仅当P的行向量是one-hot向量的时候，矩阵P的弗罗贝尼乌斯范数取最大值。因此，我们可以借由矩阵P的秩r和矩阵的弗罗贝尼乌斯范数共同定义P的近似动力学可逆性。
首先，矩阵的秩可以被写作：
首先，矩阵的秩可以被写作：
</math>时，<math>
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\Gamma_{\alpha}
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</math>是P的沙滕范数（Schatten norm）；当<math>
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0<\alpha<1
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</math>时，<math>
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\Gamma_{\alpha}
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</math>是P的准范数（quasinorm）。
</math>是P的[[准范数]]（quasinorm）。
使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>
使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>