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\chi
\chi
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是置换矩阵的时候，P是严格动力学可逆的。
</math>和对应的TPM P，当且仅当P是置换矩阵的时候，P是严格动力学可逆的。
证明见参考文献<ref name="Zhangjiang">Zhang, Jiang, Ruyi Tao, and Bing Yuan. "Dynamical Reversibility and A New Theory of Causal Emergence." arXiv preprint arXiv:2402.15054 (2024).</ref>
纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
纯粹的置换矩阵在所有可能的TPM中非常稀少，所以大多数的TPM并不是严格动力学可逆的。因此，需要一个指标来刻画任意一个TPM接近动力学可逆的程度。
</math>时，<math>
</math>时，<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>是P的[[准范数]]（quasinorm）。
</math>是P的[[准范数]]（quasinorm）<ref>Schatten norm from Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Schatten norm</ref><ref>Recht, B., Fazel, M., Parrilo, P.A.: Guaranteed minimum-rank solutions of linear matrix equations via nuclear norm minimization. SIAM review 52(3), 471–501 (2010)</ref><ref>Chi, Y., Lu, Y.M., Chen, Y.: Nonconvex optimization meets low-rank matrix factorization: An overview. IEEE Transactions on Signal Processing 67(20), 52395269 (2019)</ref><ref name=Cui>Cui, S., Wang, S., Zhuo, J., Li, L., Huang, Q., Tian, Q.: Towards discriminability and diversity: Batch nuclear-norm maximization under label insufficient situations. In: Proceedings of the IEEE/CVF Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, pp. 3941–3950 (2020)</ref>。
使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>
使用这个定义来刻画近似动力学可逆性是合理的，因为完全动力学可逆性可以通过最大化<math>
</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值.
</math>的最大值是N，当且仅当P是置换矩阵的时候能取到该最大值.
更进一步来说，可以证明，<math>
更进一步来说，可以证明，<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>的下界可以由<math>
</math>的下界可以由<math>
{||P||}_{F}^{\alpha}
{||P||}_{F}^{\alpha}
</math>确定。
</math>确定<ref name="Zhangjiang" />。
===决定性和简并性===
===决定性和简并性===
</math>测量确定性和简并性的倾向，<math>
</math>测量确定性和简并性的倾向，<math>
\Gamma_{\alpha=1}
\Gamma_{\alpha=1}
</math>被称为核规范。
</math>被称为核范数<ref name=Cui /><ref>Fazel, M.: Matrix rank minimization with applications. PhD thesis, PhD thesis, Stanford University (2002)</ref>。
考虑到<math>
考虑到<math>
\alpha=1
\alpha=1
<math>
<math>
\Gamma_{\alpha=1}
\Gamma_{\alpha=1}
</math>受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链
</math>受矩阵的大小影响，所以我们需要进行归一化，从而刻画与大小无关的近似动力学可逆性，这样可以更方便地在不同大小的马尔科夫链之间进行比较。
<math>
<math>
\gamma_{\alpha}=\frac{\Gamma_{\alpha}}{N}
\gamma_{\alpha}=\frac{\Gamma_{\alpha}}{N}
</math>
</math>
容易证明，<math>
\gamma_{\alpha}
</math>总是小于1。
==<math>
==<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
</math>。它们还有相同的最大值<math>\log{N}</math>，最大值点对应于P是一个置换矩阵。
证明见参考文献<ref name="Zhangjiang" />附录A.3
因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
因此当P是可逆的（置换矩阵）时，<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
\log{\Gamma_{\alpha}}-\log{N}</math>.
证明见参考文献<ref name="Zhangjiang" />附录A.3.
因此，我们有如下不等式：
因此，我们有如下不等式：
==因果涌现的新定义==
==因果涌现的新定义==
=== 定义因果涌现强度 ===
===定义因果涌现强度===
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
\chi
\chi
\Delta\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}\dot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
\Delta\Gamma_{\alpha}=\Gamma_{\alpha}\dot(\frac{1}{r}-\frac{1}{N})
</math>
</math>
=== 定义模糊因果涌现===
===定义模糊因果涌现===
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
对于具有TPM P的给定马尔可夫链<math>
\chi
\chi
\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1].
\epsilon\ge{0},\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)\in[0,N-1].
</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>只有当<math>\Delta\Gamma_{\alpha}(\epsilon)>0
</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见附录A.3.1。
</math>时，才会出现因果涌现。命题和证明见参考文献<ref name="Zhangjiang" />附录A.3.1。
==<math>\Gamma</math>和EI的比较==
==<math>\Gamma</math>和EI的比较==
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待今后的工作来证明。
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待今后的工作来证明。
我们还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和gama的解析解，并展示了EI和gama与参数p和q的关系。图 2(c)和(d)之间的差异显而易见：1）当<math>
我们还在大小为N=2 的最简单参数化TPM中得到了EI和<math>
\Gamma
</math>的解析解，并展示了EI和<math>
\Gamma
</math>与参数p和q的关系。图 2(c)和(d)之间的差异显而易见：1）当<math>
p\approx 1-q
p\approx 1-q
</math>时，<math>\Gamma
</math>时，<math>\Gamma
[[文件:截屏2024-08-11 18.32.26.png|居中|缩略图|773x773px|图1|替代=]]
[[文件:截屏2024-08-11 18.32.26.png|居中|缩略图|773x773px|图1|替代=]]
===不同===
===不同 ===
尽管已经发现 EI 和<math>
尽管已经发现 EI 和<math>
\Gamma_{\alpha}
\Gamma_{\alpha}
</math>可以提供有关行向量的更全面的见解，超越其与平均行向量的相似性。
</math>可以提供有关行向量的更全面的见解，超越其与平均行向量的相似性。
==量化因果涌现==
==量化因果涌现==
下面基于Hoel等人的论文[5, 6]中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
下面基于Hoel等人的论文<ref name="Hoel2013">Hoel, E.P., Albantakis, L., Tononi, G.: Quantifying causal emergence shows that macro can beat micro. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 110(49), 19790–19795 (2013) https://doi.org/10.1073/ pnas.1314922110</ref><ref name="Hoel2017">Hoel, E.P.: When the map is better than the territory. Entropy 19(5) (2017) https://doi.org/10.3390/e19050188</ref>中提出的几种布尔网络马尔可夫动力学来测试清晰和模糊因果涌现的定义。
[[文件:截屏2024-08-14 11.10.36.png.png|居中|缩略图|755x755px|图2|替代=]]
[[文件:截屏2024-08-14 11.10.36.png.png|居中|缩略图|755x755px|图2|替代=]]
</math>值是根据图3(h)中的奇异值频谱选择的，在图3(h)中可以观察到指数为3和<math>
</math>值是根据图3(h)中的奇异值频谱选择的，在图3(h)中可以观察到指数为3和<math>
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献[5]，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与 [5] 相同。参考文献 [5] 和 [6] 中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献<nowiki><ref name=Hoel2013>，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与</nowiki><ref name="Hoel2013" />相同。参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
[[文件:截屏2024-08-14 11.13.54.png|居中|缩略图|776x776px|图3|替代=]]
[[文件:截屏2024-08-14 11.13.54.png|居中|缩略图|776x776px|图3|替代=]]
</math>几乎完全相同，这说明我们的方法在这种情况下是<math>
</math>几乎完全相同，这说明我们的方法在这种情况下是<math>
\Gamma
\Gamma
</math>保守的。我们进一步测试了参考文献 [5, 6] 中的因果涌现例子，可以得到几乎相同的粗TPM。其次，如图 4(e) 所示，用相同的粗粒度方法可以得到原始TPM（图 4(a)）的缩小TPM，投影矩阵<math>
</math>保守的。我们进一步测试了参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中的因果涌现例子，可以得到几乎相同的粗TPM。其次，如图 4(e) 所示，用相同的粗粒度方法可以得到原始TPM（图 4(a)）的缩小TPM，投影矩阵<math>
\Phi</math>如 (f) 所示。如图 4（b）所示，粗粒度布尔网络可以从简化的TPM和投影矩阵中读出。在本例中，虽然由于粗粒化过程中的信息损失，<math>
\Phi</math>如 (f) 所示。如图 4（b）所示，粗粒度布尔网络可以从简化的TPM和投影矩阵中读出。在本例中，虽然由于粗粒化过程中的信息损失，<math>
\Gamma
\Gamma
</math>大幅上升。这表明在粗粒化过程中损失了大量信息，同时可以得到一个相对更有效的小型网络模型，具有更强的归一化近似动态可逆性。
</math>大幅上升。这表明在粗粒化过程中损失了大量信息，同时可以得到一个相对更有效的小型网络模型，具有更强的归一化近似动态可逆性。
== 参考文献 ==
==参考文献==
<references />