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第258行：
第258行： − + − + − 我们还在图 2(a)和(b)中用红色虚线表示了 EI 的上下限。不过，在图 2（c）中，由于所有点都集中在一个小区域内，因此看不到理论边界线。根据经验，图 2 中灰色断线所示的对数<math>\log{\Gamma_{\alpha}}+ 第272行：
第272行： − + 第296行：
第296行： − + 第319行：
第319行： − 图3(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图3(d)中的TPM直接源自图3(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图3(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图3(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>+ − 图3(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图3(h) 所示。我们选择<math>+ 第329行：
第329行： − + − + − 对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图 3(j-l)）和细胞自动机（图 4(g-i)）。图 3（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图 3(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图 3(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>+ 第340行：
第340行： − 如图4（g-i）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图4(h) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图4(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>+ 第369行：
第369行： − 我们在图 3 和图 4 所示的所有示例中测试了我们的方法。首先，对于根据图 3(d) 和 (g) 所示的相同布尔网络模型生成的两个 TPM，其粗 TPM 分别如图 3(f)和(i)所示。从TPM和投影矩阵<math>+ − + 第376行：
第376行： − + − + 第387行：
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我们在由三种不同方法生成的各种归一化TPM 上比较了<math>
我们在由三种不同方法生成的各种归一化TPM 上比较了<math>
\log{\Gamma_{\alpha}}
\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>和 EI：1）软化置换矩阵；2）软化退化矩阵；3）完全随机矩阵。这些生成模型的详情见附录 B。结果如图2 所示。如图2(a)、(b)和(c)所示，在所有这些例子中都观察到了正相关性，并且在N ≫ 1 时，<math>
</math>和 EI：1）软化置换矩阵；2）软化退化矩阵；3）完全随机矩阵。这些生成模型的详情见附录 B。结果如图1 所示。如图1(a)、(b)和(c)所示，在所有这些例子中都观察到了正相关性，并且在N ≫ 1 时，<math>
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}.
EI\sim\log{\Gamma_{\alpha}}.
</math>的近似关系得到了证实。在图 2(a) 和 (b) 中可以明显观察到这种关系，但在图 2(b) 中，由于覆盖了有限的<math>
</math>的近似关系得到了证实。在图1(a) 和 (b) 中可以明显观察到这种关系，但在图1(b) 中，由于覆盖了有限的<math>
\Gamma
\Gamma
</math>值区域，这种关系退化为近似线性关系。关于不同α的更多结果，请参阅附录B.1节。
</math>值区域，这种关系退化为近似线性关系。关于不同α的更多结果，请参阅附录B.1节。
我们还在图1(a)和(b)中用红色虚线表示了 EI 的上下限。不过，在图1（c）中，由于所有点都集中在一个小区域内，因此看不到理论边界线。根据经验，图1 中灰色断线所示的对数<math>\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的EI上限更为严格。因此，我们推测 <math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>的EI上限更为严格。因此，我们推测 <math>EI\le\log{\Gamma_{\alpha}}
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待今后的工作来证明。
</math>这一新关系是成立的，但其严密性有待今后的工作来证明。
</math>的解析解，并展示了EI和<math>
</math>的解析解，并展示了EI和<math>
\Gamma
\Gamma
</math>与参数p和q的关系。图 2(c)和(d)之间的差异显而易见：1）当<math>
</math>与参数p和q的关系。图1(c)和(d)之间的差异显而易见：1）当<math>
p\approx 1-q
p\approx 1-q
</math>时，<math>\Gamma
</math>时，<math>\Gamma
可以通过以下数值实验来验证这一点：我们可以通过将线性相关行向量与线性独立行向量混合来创建TPM，其中独立向量的数量或等级是受控参数。最初，我们生成r个独立的 one-hot 向量，然后使用与附录B.1中描述的相同方法软化这些行向量，软化程度由<math>
可以通过以下数值实验来验证这一点：我们可以通过将线性相关行向量与线性独立行向量混合来创建TPM，其中独立向量的数量或等级是受控参数。最初，我们生成r个独立的 one-hot 向量，然后使用与附录B.1中描述的相同方法软化这些行向量，软化程度由<math>
\sigma</math>确定。随后，我们通过将这些软化的 one-hot 向量与随机选择的线性系数线性组合来创建额外的行向量。然后我们量化<math>
\sigma</math>确定。随后，我们通过将这些软化的 one-hot 向量与随机选择的线性系数线性组合来创建额外的行向量。然后我们量化<math>
\Gamma</math>和 EI 之间的差异，结果如图2(d) 所示。
\Gamma</math>和 EI 之间的差异，结果如图1(d) 所示。
很明显，对于较小的r值，随着<math>
很明显，对于较小的r值，随着<math>
[[文件:截屏2024-08-14 11.10.36.png.png|居中|缩略图|755x755px|图2|替代=]]
[[文件:截屏2024-08-14 11.10.36.png.png|居中|缩略图|755x755px|图2|替代=]]
图2(a-i)分别显示了从具有相同节点机制的相同布尔网络模型生成的用于因果涌现和模糊因果涌现的TPM的两个示例。图2(d)中的TPM直接源自图2(a)和(b)中的布尔网络及其节点机制。它们的奇异值谱分别如图2(e)和(h)所示。(d)中的第一个例子只有4个非零奇异值(图2(e))，因此，出现明显的因果涌现，且因果涌现的程度为<math>
\Delta\Gamma=0.75
\Delta\Gamma=0.75
</math>。 因果涌现的判断与参考文献[5]相同。
</math>。 因果涌现的判断与参考文献[5]相同。
图2(g)中的TPM可以显示出模糊的因果涌现，这是在(d)中的TPM上添加强度为（std = 0.03）的随机高斯噪声后得到的。因此，奇异频谱如图2(h) 所示。我们选择<math>
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>
</math>作为阈值，这样就只剩下4个大的奇异值。因果涌现程度为<math>
</math>。<math>
</math>。<math>
\epsilon
\epsilon
</math>值是根据图3(h)中的奇异值频谱选择的，在图3(h)中可以观察到指数为3和<math>
</math>值是根据图2(h)中的奇异值频谱选择的，在图2(h)中可以观察到指数为3和<math>
\epsilon=0.2
\epsilon=0.2
</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献<ref name=Hoel2013 />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
</math>时有一个明显的分界点。图3（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显因果涌现例子，该模型来自参考文献<ref name=Hoel2013 />，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示因果涌现。原始布尔网络模型的相应TPM如图3(c)所示。奇异值频谱如图3（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对因果涌现的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。
[[文件:截屏2024-08-14 11.13.54.png|居中|缩略图|776x776px|图3|替代=]]
[[文件:截屏2024-08-14 11.13.54.png|居中|缩略图|776x776px|图3|替代=]]
对因果涌现的量化可应用于复杂网络（图2(j-l)）和细胞自动机（图3(g-i)）。图2（j-l）显示了由随机块模型（SBM）生成的具有三组参数（内部或内部连接概率）的复杂网络的模糊因果涌现例子。TPM是通过对网络的邻接矩阵按每个节点的度进行归一化得到的。图2(j)显示了一个有 100 个节点和 5 个区块（社区）的示例网络，图2(k)显示了其奇异值频谱，在与区块数相同的横坐标上可以观察到一个明显的分界点<math>
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
(\epsilon=0.3,r_{\epsilon}=5)
</math>。我们可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
</math>。我们可以确定，在这个网络模型中出现了模糊的因果涌现，程度为<math>
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
</math>。同图中还显示了两个由SBM生成的网络光谱，它们的大小和块数相同，但参数不同。
如图3（g-i）所示，关于清晰因果涌现的定义可应用于元胞自动机，以发现其局部涌现结构。在这个例子里刻画了元胞自动机（编号40的基本一维元胞自动机）局部TPM的清晰因果涌现。局部TPM 由包括每个单元及其两个相邻单元的局部窗口获得。图3(h) 显示了这些局部 TPM 的奇异值的可能频谱，在这些频谱中可能出现也可能不出现清晰因果涌现。图3(i)用红点标记显示了所有单元和时间步长的清晰因果涌现分布（<math>
\Delta\Gamma
\Delta\Gamma
</math>）。我们还绘制了该自动机的原始演化作为背景。
</math>）。我们还绘制了该自动机的原始演化作为背景。
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。有关此方法的详细信息及其工作原理，请参阅附录 D。
\Phi</math>和P得到新的TPM，使总静态通量保持不变。有关此方法的详细信息及其工作原理，请参阅附录 D。
我们在图2 和图3 所示的所有示例中测试了我们的方法。首先，对于根据图2(d) 和 (g) 所示的相同布尔网络模型生成的两个 TPM，其粗 TPM 分别如图2(f)和(i)所示。从TPM和投影矩阵<math>
\Phi</math>中可以读出宏观布尔网络模型（图3(c)）。值得注意的是，粗TPM中的<math>
\Phi</math>中可以读出宏观布尔网络模型（图2(c)）。值得注意的是，粗TPM中的<math>
\Gamma
\Gamma
</math>与原始模型中的<math>
</math>与原始模型中的<math>
</math>几乎完全相同，这说明我们的方法在这种情况下是<math>
</math>几乎完全相同，这说明我们的方法在这种情况下是<math>
\Gamma
\Gamma
</math>保守的。我们进一步测试了参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中的因果涌现例子，可以得到几乎相同的粗TPM。其次，如图 4(e) 所示，用相同的粗粒度方法可以得到原始TPM（图 4(a)）的缩小TPM，投影矩阵<math>
</math>保守的。我们进一步测试了参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中的因果涌现例子，可以得到几乎相同的粗TPM。其次，如图3(e) 所示，用相同的粗粒度方法可以得到原始TPM（图3(a)）的缩小TPM，投影矩阵<math>
\Phi</math>如 (f) 所示。如图 4（b）所示，粗粒度布尔网络可以从简化的TPM和投影矩阵中读出。在本例中，虽然由于粗粒化过程中的信息损失，<math>
\Phi</math>如 (f) 所示。如图3（b）所示，粗粒度布尔网络可以从简化的TPM和投影矩阵中读出。在本例中，虽然由于粗粒化过程中的信息损失，<math>
\Gamma
\Gamma
</math>被大大缩小了（从 <math>
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=0.32</math>增加到<math>
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\gamma
\gamma
=1.0</math>）。同样的粗粒化方法也适用于SBM生成的复杂网络。图3(l)显示了从原始网络（图 3(j)）衍生出的 5 节点精简网络。图 3(l)显示了从原始网络（图 3(j)）得到的具有 5 个节点的缩小网络（图 3(l)）。并观察到具有相关性的<math>
=1.0</math>）。同样的粗粒化方法也适用于SBM生成的复杂网络。图2(l)显示了从原始网络（图2(j)）衍生出的 5 节点精简网络。图2(l)显示了从原始网络（图2(j)）得到的具有 5 个节点的缩小网络（图2(l)）。并观察到具有相关性的<math>
\Gamma
\Gamma
</math>大幅下降和<math>
</math>大幅下降和<math>