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P_{i}=\frac{I}{N},\forall{i}\in[1,N]

P_{i}=\frac{I}{N},\forall{i}\in[1,N]

</math>，它们也可以达到最小值0。然而，我们可以证明<math>

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\frac{}{N}

\frac{I}{N}

</math>并不是EI的唯一最小点,对于任何满足<math>P_{i}=P_{j},\forall{i}\in{[1,N]}</math>的TPM都能使EI=0.其次EI的上限和下限都是<math>\log{\Gamma_{\alpha}}</math>的线性项。这一点由下面的定理证明。

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首先，EI 通过KL散度来量化每个行向量与P的平均行向量之间的差异。换句话说，EI衡量行向量之间的相似性。相反，<math>

首先，EI 通过KL散度来量化每个行向量与P的平均行向量之间的差异。换句话说，EI衡量行向量之间的相似性。相反，<math>

\Gamma_{\alpha}

\Gamma_{\alpha}

</math>评估动态可逆性，特别是当<nowiki><math></nowiki>

</math>评估动态可逆性，特别是当<math>

 

\alpha

\alpha

 

<nowiki></math>接近 0 时，这与行向量之间的线性相互依赖性相关。虽然行向量的线性相互依赖性表明它们的相似性——这意味着两个相同的行向量是线性相关的，但反之则不一定成立。因此，<math>

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\Gamma_{\alpha}

\Gamma_{\alpha}

</math>不仅捕获了行向量之间的相似性，而且还捕获了P与动态可逆矩阵的接近度。相比之下，EI无法完成这个任务。

</math>不仅捕获了行向量之间的相似性，而且还捕获了P与动态可逆矩阵的接近度。相比之下，EI无法完成这个任务。

</math>值是根据图3(h)中的奇异值频谱选择的，在图3(h)中可以观察到指数为3和<math>

</math>值是根据图3(h)中的奇异值频谱选择的，在图3(h)中可以观察到指数为3和<math>

\epsilon=0.2

\epsilon=0.2

</math>时有一个明显的分界点。图 4（a-f）显示了另一个更复杂的布尔网络模型的明显CE例子，该模型来自参考文献<nowiki><ref name=Hoel2013 /></nowiki>，其中具有相同节点机制的6个节点可归类为3个超级节点，以显示CE。原始布尔网络模型的相应TPM如图4(c)所示。奇异值频谱如图4（d）所示，其中有8个非零值。这个清晰因果涌现的度数为 ∆Γ = 2.23。对 CE 的判断与<ref name="Hoel2013" />相同。参考文献<ref name="Hoel2013" />和<ref name="Hoel2017" />中有关布尔网络的更多例子可参阅附录第 E.1 节。

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[[文件:截屏2024-08-14 11.13.54.png|居中|缩略图|776x776px|图3|替代=]]

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