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第520行： − 引理3：对于给定的TPMP ，任何<math>\alpha\in (0, 2) </math>的动态可逆性<math>\Gamma_{\alpha}</math>的度量小于或等于系统的大小 N 。+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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==附录==
==附录==
引理1：对于一个概率转移矩阵TPM <math>P=(P_{1}，P_{2}，...,P_{N})^{T}</math>，其中<math>P_{i}</math>是第i个行向量，那么：
引理1：对于一个概率转移矩阵TPM <math>P=(P_{1}，P_{2}，...,P_{N})^{T}</math>，其中<math>P_{i}</math>是第i个行向量，那么：
<math>
<math>
P_{i}\cdot P_{j}\le 1, \forall i,j\in [1,N]
P_{i}\cdot P_{j}\le 1, \forall i,j\in [1,N]
</math>
</math>
证明: 由于Pi是概率分布，因此它应满足归一化条件，可表示为：
证明: 由于Pi是概率分布，因此它应满足归一化条件，可表示为：
<math>
<math>
|P_{i}|_{1}=\sum_{j=1}^{N} p_{ij}=1
|P_{i}|_{1}=\sum_{j=1}^{N} p_{ij}=1
</math>
</math>
其中<math>
其中<math>
|\cdot|_{1}
|\cdot|_{1}
P_{i}\cdot P_{j}=|P_{i}\cdot P_{j}|_{1}\le \cdot |P_{i}|_{1}\cdot |P_{j}|_{1}=1
P_{i}\cdot P_{j}=|P_{i}\cdot P_{j}|_{1}\le \cdot |P_{i}|_{1}\cdot |P_{j}|_{1}=1
</math>
</math>
引理2：对于TPM P，我们可以用如下形式书写：
引理2：对于TPM P，我们可以用如下形式书写：
<math>P=(P_{1},P_{2},...,P_{N})^{T}
<math>P=(P_{1},P_{2},...,P_{N})^{T}
</math>
</math>
其中Pi是第i个行向量。然后假设P的奇异值为<math>
其中Pi是第i个行向量。然后假设P的奇异值为<math>
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
(\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{N}\ge0)
P_{i}\cdot P_{i}=1, \forall i\in [1,N],
P_{i}\cdot P_{i}=1, \forall i\in [1,N],
</math>
</math>
那么P的所有奇异值满足：
那么P的所有奇异值满足：
<math>
<math>
\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{r}\ge 1
\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{r}\ge 1
</math>
</math>
其中r是矩阵P的秩。
其中r是矩阵P的秩。
证明:
如果<math>
证明:如果<math>
P_{i}\cdot P_{i}=1
P_{i}\cdot P_{i}=1
</math>，则<math>
</math>，则<math>
|P_{i}|_{1}=\sum_{j=1}^{N} p_{ij}=1
|P_{i}|_{1}=\sum_{j=1}^{N} p_{ij}=1
</math>，因此Pi必须为独热向量。因此，P存在两种情况：1.存在<math>1≤i,j≤ N</math>，使得<math>Pi=Pj</math>；2.对于任意<math>1≤ i,j≤ N，Pi\neq Pj</math>。
</math>，因此Pi必须为独热向量。因此，P存在两种情况：1.存在<math>1≤i,j≤ N</math>，使得<math>Pi=Pj</math>；2.对于任意<math>1≤ i,j≤ N，Pi\neq Pj</math>。
情况一：若<math>P_{i}=P_{j}</math>且因为它们都为独热向量，所以<math>
情况一：若<math>P_{i}=P_{j}</math>且因为它们都为独热向量，所以<math>
P_{i}\cdot P_{j}=1
P_{i}\cdot P_{j}=1
P\cdot P^{T}=1
P\cdot P^{T}=1
</math>的矩阵具有以下形式：
</math>的矩阵具有以下形式：
<math>
<math>
P\cdot P^{T}=\begin{matrix}
P\cdot P^{T}=\begin{matrix}
\end{pmatrix},
\end{pmatrix},
</math>
</math>
其中，除了对角线元素和i、j和j、i处的元素外，所有元素均为0。从公式 A37 中，我们知道第 i 行与第 j 行相同。因此，<math>
其中，除了对角线元素和i、j和j、i处的元素外，所有元素均为0。从公式 A37 中，我们知道第 i 行与第 j 行相同。因此，<math>
P\cdot P^{T}
P\cdot P^{T}
P_{i}\cdot P_{j}=1
P_{i}\cdot P_{j}=1
</math>，那么最后N−r个奇异值全为零。P的秩为r。所以：
</math>，那么最后N−r个奇异值全为零。P的秩为r。所以：
<math>
<math>
\sigma_{r+1}=\sigma_{r+2}=...=\sigma_{N}=0
\sigma_{r+1}=\sigma_{r+2}=...=\sigma_{N}=0
</math>
</math>
在这种情况下，<math>
在这种情况下，<math>
P\cdot P^{T}
P\cdot P^{T}
</math>可以被写作：
</math>可以被写作：
<math>
<math>
P\cdot P^{T}=\begin{pmatrix}
P\cdot P^{T}=\begin{pmatrix}
\end{pmatrix},
\end{pmatrix},
</math>
</math>
其中<math>
其中<math>
I_{(r-1)\times (r-1)}
I_{(r-1)\times (r-1)}
\mathbb{I}
\mathbb{I}
</math>是所有元素分别均为0和1的矩阵。因此，P的奇异值按降序排列为：
</math>是所有元素分别均为0和1的矩阵。因此，P的奇异值按降序排列为：
<math>\sigma=(\sqrt{N-r+1},1,1,...,1,0,0,...,0)
<math>\sigma=(\sqrt{N-r+1},1,1,...,1,0,0,...,0)
</math>
</math>
因此：
因此：
<math>
<math>
\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{r}\ge 1
\sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge...\ge\sigma_{r}\ge 1
</math>
</math>
情况2：如果<math>
情况2：如果<math>
P_{i}\cdot P_{j}=1
P_{i}\cdot P_{j}=1
P^{T}=P^{-1}
P^{T}=P^{-1}
</math>，且 P 必须是置换矩阵，并且所有奇异值都是1。这也符合引理2的陈述。
</math>，且 P 必须是置换矩阵，并且所有奇异值都是1。这也符合引理2的陈述。
引理3：对于给定的TPM P ，任何<math>\alpha\in (0, 2) </math>的动态可逆性<math>\Gamma_{\alpha}</math>的度量小于或等于系统的大小 N 。
证明：因为<math>0\le\alpha\le 2</math>，所以<math>f(x)=x^{\alpha /2}</math>是凹函数，根据命题 4，我们有：
<math>
\begin{align}
\Gamma_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}^{\alpha}=N\cdot (\frac{\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}^{2}}{N})^{\alpha/2}=\nonumber\\
N^{1-\alpha/2} (\sum_{i=1}^{N} P_{i}^{2})^{\alpha/2}\le N^{1-\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}}=N
\end{align}
</math>
引理4：当且仅当任何i的Pi行向量相同时，非零TPM P的秩才能达到最小值1。在这种情况下：
<math>\Gamma_{\alpha}=|P_{1}|^{\alpha}\cdot N_{\alpha/2}
</math>
证明：如果P的秩为1，则Pi的所有N-1个行向量，∀i∈[1, N]都可以用第一个行向量P1的线性函数来表示，因此
<math>Pi = k·P1</math>
其中 k > 0。
但是，因为<math>|Pi|_{1} = 1</math>，因此 k 必须为 1。因此：
<math>Pi = Pj,\forall i, j\in [1,N]</math>
另一方面，如果等式A51成立，则P的秩应该为1。在这种情况下，<math>
P\cdot P^{T}=|P_{1}|^{2}\cdot \mathbb{I}_{N\times N},
</math>， (A52) 因此，<math>
P\cdot P^{T}
</math>的特征值为<math>(|P_{1}|\cdot \sqrt{N},0,...,0)</math>。这直接导致了公式A49。
引理5：对于任何<math>x_{i}\ge 0,\forall i \in [1,N]</math>且<math>\alpha>0</math>,<math>f(\alpha)=(\sum_{i=1}^{N} x_{i}^{\alpha})^{1/\alpha}
</math>是关于<math>\alpha</math>的单调递减函数。
证明：因为：
<math>
\sum_{i=1}^{N}(x_{i}^{\alpha})^{2}\le (\sum_{i=1}^{N} x_{i}^{\alpha})^{2},
</math>
因此：
<math>log\frac{\sum_{i=1}^{N} x_{i}^{2\alpha}}{\sum_{i=1}^{N} x_{i}^{\alpha}}\le log\sum_{i=1}^{N} x_{i}^{\alpha}.</math>
更进一步，由于log是凹函数，因此：
<math>
\sum_{i=1}^{N}(\frac{x_{i}^{\alpha}}{\sum_{j=1}^{N} x_{j}^{\alpha}})\cdot log x_{i}^{\alpha}\le log\sum_{i=1}^{N}(\frac{x_{i}^{\alpha}}{\sum_{j=1}^{N} x_{j}^{\alpha}}\cdot x_{i}^{\alpha}),
</math>
==参考文献==
==参考文献==
<references />
<references />