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===动力学模式分解===

===动力学模式分解===

动态模态分解<ref>Schmid P J. Dynamic mode decomposition and its variants[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2022, 54(1): 225-254.</ref><ref>J. Proctor, S. Brunton and J. N. Kutz, Dynamic mode decomposition with control, arXiv:1409.6358</ref>模型的基本思想是直接从数据模拟得到的流场中提取流动的动态信息，根据不同频率的流场变动寻找数据映射，基于动态非线性无穷维转化成动态线性有穷维的方式，采用了Arnoldi 方法以及奇异值分解SVD降维的思想，借鉴了ARIMA、SARIMA 以及季节模型等许多时间序列的关键特征，被广泛的使用在数学、物理、金融等领域<ref>J. Grosek and J. N. Kutz, Dynamic mode decomposition for real-time background/foreground separation in video, arXiv:1404.7592.</ref>。动态模式分解按照频率对系统进行排序，提取系统特征频率，从而观察不同频率的流动结构对流场的贡献，同时动态模式分解模态特征值可以进行流场预测。因为动态模态分解算法只理论的严密性、稳定性、简易性等优点，在不断被运用的同时，动态模态分解算法也在本来的基础之上不断被完善，如与SPA检验结合起来，以验证股票价格预测对比基准点的强有效性:以及通过联系动态模态分解算法和光谱研究的方式，模拟股票市场在循环经济当中的震动，均能够有效地采集分析数据，并最终得到结果。

动态模态分解（Decomposition of Dynamical Mode）<ref>Schmid P J. Dynamic mode decomposition and its variants[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2022, 54(1): 225-254.</ref><ref>J. Proctor, S. Brunton and J. N. Kutz, Dynamic mode decomposition with control, arXiv:1409.6358</ref>模型的基本思想是直接从数据中得到的流场中提取流动的动态信息，根据不同频率的流场变动寻找数据映射。该方法基于动态非线性无穷维转化成动态线性有穷维的方式，采用了Arnoldi 方法以及奇异值分解SVD降维的思想，借鉴了ARIMA、SARIMA以及季节模型等许多时间序列的关键特征，被广泛的使用在数学、物理、金融等领域<ref>J. Grosek and J. N. Kutz, Dynamic mode decomposition for real-time background/foreground separation in video, arXiv:1404.7592.</ref>。动态模式分解按照频率对系统进行排序，提取系统特征频率，从而观察不同频率的流动结构对流场的贡献，同时动态模式分解模态特征值可以进行流场预测。因为动态模态分解算法具有理论的严密性、稳定性、简易性等优点。在不断应用的同时，动态模态分解算法也在原有基础之上不断被完善，如与SPA检验结合起来，以验证股票价格预测对比基准点的强有效性:以及通过联系动态模态分解算法和光谱研究的方式，模拟股票市场在循环经济当中的振动模式等，这些应用均能够有效地采集分析数据，并最终得到结果。

动力学模式分解，属于利用线性变换同时对变量、动力学、观测函数进行降维<ref>B. Brunton, L. Johnson, J. Ojemann and J. N. Kutz, Extracting spatial-temporal coherent patterns in large-scale neural recordings using dynamic mode decomposition arXiv:1409.5496</ref>。而除此之外，还有另一种和因果涌现中粗粒化策略相近，但是依然基于误差最小化来进行优化的操作，就是动力学模式分解。模型约简和动力学模式分解虽然都和模型粗粒化十分接近，但是他们都没有基于有效信息的优化，本质上都是默认了一定会损失信息，而不会增强因果效应。后续的证明<ref>Liu K, Yuan B, Zhang J. An Exact Theory of Causal Emergence for Linear Stochastic Iteration Systems[J]. arXiv preprint arXiv:2405.09207, 2024.</ref>中我们知道其实有效信息最大化的最优解集包含因果涌最大化的解集，因此如果要优化因果涌现，可以先最小化误差，在最小误差的解集中寻找最佳的粗粒化策略。

动力学模式分解，属于利用线性变换同时对变量、动力学、观测函数进行降维<ref>B. Brunton, L. Johnson, J. Ojemann and J. N. Kutz, Extracting spatial-temporal coherent patterns in large-scale neural recordings using dynamic mode decomposition arXiv:1409.5496</ref>的方法。这种方法是另一种和因果涌现中粗粒化策略相近，依然基于误差最小化来进行优化的方法。模型约简和动力学模式分解虽然都和模型粗粒化十分接近，但是他们都没有基于有效信息的优化，本质上都是默认了一定会损失信息，而不会增强因果效应。在文献<ref>Liu K, Yuan B, Zhang J. An Exact Theory of Causal Emergence for Linear Stochastic Iteration Systems[J]. arXiv preprint arXiv:2405.09207, 2024.</ref>中，作者们证明了其实有效信息最大化的最优解集包含因果涌最大化的解集，因此如果要优化因果涌现，可以先最小化误差，在最小误差的解集中寻找最佳的粗粒化策略。

===马尔科夫链的简化===

===马尔科夫链的简化===